§ 34. Затухающие колебания

До сих пор мы рассматривали движение тел (в том числе колебания) так, как если бы оно происходило совершенно беспрепятственно. Однако если движение происходит в какой-либо внешней среде, то эта среда оказывает сопротивление движению, стремящееся замедлить его. Взаимодействие тела со средой представляет собой сложный процесс, приводящий, в конце концов, к переходу энергии движущегося тела в тепло,— как говорят в физике, к рассеянию или диссипации энергии. Этот процесс не является уже чисто механическим и его детальное изучение требует привлечения также и других разделов физики. С чисто механической точки зрения он может быть описан путем введения определенной дополнительной силы, появляющейся в результате самого движения и направленной противоположно ему. Эту силу называют силой трения. При достаточно малых скоростях движения она пропорциональна скорости тела

где b — некоторая положительная константа, характеризующая взаимодействие тела со средой, а знак минус указывает, что сила направлена в сторону, обратную скорости.

Выясним, как влияет наличие такого трения на колебательное движение. Будем считать при этом, что сила трения настолько мала, что вызываемая ею потеря энергии тела (за время одного периода колебания) относительно мала.

Потеря энергии телом определяется как работа, произведенная силой трения. За время dt эта работа, а с ней и потеря энергии dE, равна произведению силы Frp на смещение тела dx~v dt:

откуда

При сделанном нами предположении о малости силы трения мы можем применить эту формулу к средней потере энергии за время одного периода, заменив при этом также и кинетическую энергию -g- то2 ее средним значением. Но мы видели

в § 32, что среднее значение кинетической энергии колеблющегося тела равно половине его полной энергии Е. Таким образом, можно написать

где у=Ь/2т. Мы видим, что скорость уменьшения энергии пропорциональна самой энергии. Переписав это соотношение в виде

находим In Е——2yr+const, откуда окончательно

где Е0— значение энергии в начальный момент времени ('=0).

Таким образом, энергия колебаний убывает из-за трения по экспоненциальному закону. Вместе с энергией убывает также и амплитуда колебаний А. Поскольку энергия пропорциональна квадрату амплитуды, то

Степень убывания амплитуды определяется величиной у, которую называют коэффициентом затухания. За время t=1/y амплитуда уменьшается в е раз; это время называют временем жизни колебаний. Сделанное нами выше

предположение о малости силы трения означает, что т предполагается большим по сравнению с периодом Т=2л/со колебаний, т. е. что за время жизни происходит большое число п=т/Т колебаний. Величину, обратную п, называют логарифмическим декрементом затухания.

На рис. 4 изображен график зависимости смещения от времени при затухающих колебаниях

Пунктирная линия изображает ход убывания амплитуды.

Трение влияет также и на частоту колебаний. Замедляя движение, оно увеличивает период, т. е. уменьшает частоту колебаний. Однако при малом трении это изменение очень мало (и потому выше мы не принимали его в расчет): можно показать, что относительное изменение частоты пропорционально квадрату малого отношения у/со. Напротив, при достаточно большом трении замедление может оказаться настолько значительным, что затухание движения произойдет без колебаний, как говорят, апериодически.