§ 35. Вынужденные колебания

Во всякой реальной колебательной системе всегда происходят те или иные процессы трения. Поэтому свободные колебания, возникающие в системе под влиянием начального толчка, с течением времени затухают.

Для того чтобы возбудить в системе незатухающие колебания, необходимо компенсировать потери энергии, обусловленные трением. Такая компенсация может производиться внешними (по отношению к колебательной системе) источниками энергии. Простейшим случаем является воздействие на систему переменной внешней силы /*'„„, изменяющейся со временем по гармоническому закону

с некоторой частотой со (в отличие от этой частоты мы будем обозначать теперь частоту собственных, свободных колебаний системы через со0). Под влиянием этой силы в системе возникнут колебания, происходящие в такт с изменением силы; эти колебания называются вынужденными. Движение системы будет при этом представлять собой, вообще говоря, наложение обоих колебаний — собственных с частотой <о0 и вынужденных с частотой to.

Свободные колебания мы уже изучили. Рассмотрим теперь вынужденные колебания и определим их амплитуду. Запишем эти колебания в виде

где В — амплитуда, а Р — некоторый, пока неизвестный сдвиг фаз между внешней (или, как говорят, вынуждающей) силой и вызываемыми ею колебаниями. Мы написали р" со знаком минус, т. е. как запаздывание по фазе, в соответствии с тем, что, как мы увидим ниже, фактически имеет место.

Ускорение w тела, совершающего вынужденные колебания, определяется одновременным действием трех сил: восстанавливающей силы —kx, внешней силы Fm и силы трения Fjp=—bv. Поэтому

Разделив это равенство на массу т, вспомнив, что k/m— = co{J, и бнора обозначив b/m=2y, перепишем его в виде

Воспользуемся теперь удобным графическим методом изображения колебаний, основанным на том, что величину x=Bcos ф (где ф — фаза колебания) можно рассматривать геометрически (на некотором вспомогательном чертеже — векторной диаграмме) как проекцию на горизонтальную ось радиуса-вектора, имеющего длину В и образующего с осью угол ф. [Во избежание недоразумений подчеркнем, что эти «векторы» не имеют отношения к понятию вектора как физической величины.]

Каждый член в написанном только что равенстве представляет   собой   периодически   меняющуюся величину

с одинаковой для всех членов частотой со, но с различными для разных членов сдвигами фаз. Рассмотрим, например, момент времени /=0, когда фаза внешней силы Fm=F0 cos со/ равна нулю, так что величина FBn/m изобразится горизонтальным вектором длины FJm (рис. 5). Величина со^х= =содБ cos (со/—Р) колеблется с опозданием по фазе на

она изобразится вектором длины cogB, повернутым на угол Р (против часовой стрелки) по отношению к вектору силы. Далее, ускорение w имеет (как мы видели в § 32) амплитуду со2Б и знак, противоположный знаку координаты х; оно изобразится поэтому на графике вектором, противоположным х. Наконец, скорость v имеет амплитуду соБ и опережает х по фазе на угол л/2; величина 2yv изобразится вектором длины 2усоБ, перпендикулярным вектору х. Согласно равенству

колебание величины FBJm должно совпадать с суммой колебаний трех членов в правой стороне равенства. На нашем графике это означает, что сумма горизонтальных проекций трех последних векторов должна совпадать с F0/m. Для этого, очевидно, векторная сумма этих векторов должна быть равна вектору FmJm. Из рисунка (на котором изображены отдельно случаи со>со0 и со<со0) видно, что такое равенство выполняется, если

Отсюда находим искомую амплитуду колебаний

Из тех же графиков можно определить и фазовый сдвиг р\-мы не будем выписывать здесь соответствующее выражение, отметив лишь, что угол запаздывания колебаний х относительно вынуждающей силы острый или тупой соответственно при со<со0 или со>со0.

Мы видим, что амплитуда вынужденных колебаний пропорциональна амплитуде вынуждающей силы F0 и существенно зависит от соотношения между частотой этой силы со и собственной частотой системы со0. Если затухание у мало, то наибольшего значения амплитуда колебаний достигает приблизительно при совпадении частот со и со0 или, как говорят, при резонансе; это максимальное значение

Оно обратно пропорционально коэффициенту затухания у. По этой причине в явлении резонанса нельзя пренебрегать трением в системе, даже если оно мало.

Интересно сравнить значение Вмакс с тем смещением, которое испытало бы тело под действием постоянной (статической) силы, равной F0. Это смещение (обозначим его Бстат) можно получить из общей формулы для В, положив в ней со=0: Бстат=/?0/тсо?. Отношение резонансного смещения к статическому

Мы видим, что относительное увеличение амплитуды колебаний при резонансе (по сравнению со статическим отклонением) определяется отношением частоты собственных колебаний к коэффициенту затухания. Для систем с малым затуханием это отношение может быть очень большим. Это обстоятельство разъясняет огромное значение явления ре зонанса в физике и технике. Им широко пользуются, если хотят усилить колебания, и всячески избегают, если резонанс может привести к нежелательному росту колебаний.

Происхождение резонансного усиления колебаний можно уяснить себе, обратив внимание на соотношение между

фазами вынуждающей силы FBn и скорости v. При со^со0 между ними существует определенный сдвиг фаз. Поэтому в течение некоторой доли каждого периода сила FBH направлена противоположно скорости, т. е. как бы стремится замедлить движение, вместо того чтобы ускорять его. При

резонансе же фазы силы и скорости совпадают (см. векторную диаграмму на рис. 6), так что сила всегда действует в направлении движения, постоянно  «подталкивая» его.

Вблизи резонанса (т. е. когда разность |со—со0| мала по сравнению с самой резонансной частотой со0) формулу для амплитуды вынужденных колебаний можно представить в более простом виде. Написав в ее знаменателе со2—со^=(сй+со0)(со—со0), мы можем приближенно заменить сумму cu+co0 на 2со0, а также заменить со на со0 в члене 4у2со2. В результате получим

Эту формулу можно переписать также в виде

где— максимальное  значение амплитуды

при резонансе.

На рис. 7 изображены отвечающие этой формуле резонансные кривые — зависимость амплитуды колебаний от частоты при различных значениях коэффициента затухания у (на оси ординат отложено отношение В/Вмакс). До тех пор, пока абсолютная величина разности со—со0 мала по сравнению с у, амплитуда В мало отличается от своего максимального значения. Существенное уменьшение амплитуды наступает при [со—со0|~у. На этом основании говорят, что «ширина» резонансной кривой порядка величины у. Высота же максимума (при заданном F0) обратно про-

порциональна у. Поэтому чем меньше затухание, тем острее резонансный максимум — тем выше и уже резонансная кривая.

Выше мы говорили, что движение колебательной системы, находящейся под воздействием периодической внешней силы, представляет собой наложение вынужденных и собственных колебаний. Если отвлечься от малого затухания собственных колебаний, то будет происходить сложение двух гармонических колебаний — с частотами со и со 0 и некоторыми амплитудами Л и Б. Если мы находимся вблизи резонанса, то частоты со и со0 близки друг к другу, т. е. разность Q=|co—со0| мала по сравнению с со и со0. Выясним характер возникающего при этом результирующего движения.

Для этого воспользуемся векторной диаграммой, на

которой каждое из колебаний изображается своим вектором— Л и В на рис. 8. С течением времени, по мере изменения фаз колебаний, эти векторы равномерно вращаются с угловыми скоростями со0 и со (за время одного периода Т вектор производит полный оборот, т. е. поворачивается на угол 2я; его угловая скорость есть 2л/Т, т. е. совпадает с циклической частотой колебания). Суммарное же колебание изображается геометрической суммой обоих векторов — вектором С. Длина этого вектора в отличие от длин Л и Б не будет постоянной, а будет меняться со временем, так как благодаря разнице в угловых скоростях со0 и со угол между векторами Л и В меняется. Очевидно, что изменение длины С будет происходить в пределах от Смакс=Л+Б, когда направления векторов Л и Б совпадают, до СМИН=|Л—Б|, когда их направления противоположны. Это изменение

происходит периодически с частотой Q (этой величине равна угловая скорость вращения векторов А и В друг относительно друга).

В рассматриваемом случае близких частот со„ и со векторы А и В быстро вращаются, одновременно медленно поворачиваясь по отношению друг к другу. Изменение результирующего вектора С можно при этом рассматривать как

равномерное вращение с той же частотой со0«со (пренебрегая разницей между со0 и со), с одновременным медленным (с частотой Q) изменением его длины. Другими словами, результирующее движение представляет собой колебание с медленно меняющейся амплитудой.

Явление периодического изменения результирующей амплитуды при наложении колебаний с близкими частотами называют биениями, а величину Q — частотой биений. На рис. 9 изображены биения при А=В.