§ 36. Параметрический резонанс

Незатухающие колебания могут возбуждаться не только под действием внешней периодической силы, но также и при периодическом изменении параметров колебательной системы. Такое возбуждение колебаний называют параметрическим резонансом. В качестве примера можно привести раскачивание качелей человеком, регулярно приседающим и поднимающимся и тем самым периодически перемещающим положение центра тяжести системы.

Для выяснения механизма этого способа возбуждения колебаний обратимся к простому примеру — маятнику, длину подвеса которого можно менять, подтягивая и отпус-

кая нить, переброшенную через блок (рис. 10). Представим себе, что в момент каждого прохождения через равновесное (вертикальное) положение маятник подтягивается внешней силой F на некоторую небольшую высоту а (малую по сравнению с длиной /маятника), а в каждом крайнем положении нить отпускается на ту же длину а. В течение каждого периода, следовательно, маятник будет дважды удлинен и дважды укорочен; другими словами, частота периодического изменения параметра (длины маятника) будет вдвое больше частоты его собственных колебаний.

Поскольку удлинение нити происходит при наклонном положении маятника, то в эти моменты он опускается на высоту a cos ср0 (ср0—угловая амплитуда колебаний маятника), меньшую высоты а его подъема в моменты подтягивания нити. Поэтому за каждое подтягивание и отпускание нити действующая на нить внешняя сила производит против силы тяжести работу, равную

(так как угол ср0 предполагается малым, тоу .

Кроме того, внешняя сила F производит работу против центробежной силы (растягивающей нить), равной ^~  (v0 —

максимальная скорость маятника) в нижнем положении маятника и равной нулю в его крайних положениях (в этих положениях равна нулю скорость маятника). Таким образом, суммарная работа внешней силы за период колебаний маятника равна

Но у0=/ср0со, где— частота колебаний маятника;

поэтому

Мы видим, что работа, производимая внешней силой над маятником, положительна и пропорциональна его энергии. Поэтому энергия маятника будет систематически возрастать, получая за каждый период небольшое приращение, пропорциональное самой этой энергии и величине ~.

В этом и заключается механизм параметрического резонанса. Периодическое изменение параметров колебательной системы (с частотой, удвоенной по сравнению с собственной частотой системы) приводит к систематическому возрастанию ее средней энергии Е, причем скорость этого возрастания пропорциональна Е:

где у.— некоторая (малая) постоянная. Это соотношение такого же вида, как и при затухающих колебаниях, с тем,

йЕ

однако, отличием, что производная       положительна, а

не отрицательна. Это значит, что энергия (а с нею и амплитуда) колебаний экспоненциально возрастает со временем.

В действительности, конечно, всегда имеется некоторое трение, вызывающее затухание колебаний. Поэтому для того, чтобы действительно происходило параметрическое возбуждение колебаний, коэффициент усиления а должен превосходить некоторое минимальное значение, равное коэффициенту затухания, обусловленного трением.

Мы рассмотрели возбуждение колебаний в системе при периодических воздействиях на нее извне. Существуют, однако, колебательные системы, в которых колебания возбуждаются не за счет периодически действующей силы, а за счет постоянно действующего источника энергии. Этот источник постоянно компенсирует потери энергии в системе, приводящие к затуханию колебаний. Примером таких систем являются механические часы, в которых источником энергии служит сжатая пружина или поднятые гири.