§ 42. Кристаллическая решетка

Основным свойством кристаллов является регулярность расположения в них атомов. Эту симметрию внутреннего расположения атомов в кристаллах, а не симметрию их внешней формы мы и будем изучать.

О совокупности точек, в которых расположены атомы (точнее, атомные ядра), говорят как о кристаллической решетке, а сами точки называют узлами решетки. При изучении симметрии решетки можно представлять ее себе как бы неограниченной в пространстве, отвлекаясь от наличия у кристалла границ, не имеющих отношения к строению решетки как таковой.

Основной характеристикой кристаллической решетки является пространственная периодичность ее структуры: кристалл как бы состоит из повторяющихся частей. Мы можем тремя семействами параллельных плоскостей разбить кристаллическую решетку на совершенно одинаковые параллелепипеды, содержащие одинаковые количества одинаково расположенных атомов. Кристалл представляет собой совокупность таких параллелепипедов, параллельно сдвинутых друг по отношению к другу. Это значит, что если сместить кристаллическую решетку как целое параллельно самой себе вдоль направления какого-либо из ребер параллелепипедов на расстояние, равное целому кратному длины этого ребра, то решетка совместится сама с собой. Эти смещения называют трансляциями, а о симметрии решетки по отношению к этим смещениям говорят как о трансляционной симметрии.

Наименьший по объему параллелепипед, повторением которого можно составить всю кристаллическую решетку, называют элементарной ячейкой кристалла. Этой ячейкой — ее размерами, формой и расположением атомов в ней — полностью определяется структура кристалла. Величины и направления трех ребер элементарной ячейки задают три вектора, которые называют основными периодами решетки; это— наименьшие расстояния, на которые можно сместить решетку так, чтобы она совместилась сама с собой.

Если в вершине какой-либо элементарной ячейки находится атом, то такие же атомы должны, очевидно, находиться и во всех остальных вершинах этой и всех других ячеек. Совокупность этих одинаковых и одинаково расположенных атомов называется решеткой Браве данного кристалла (рис. 11). Она представляет собой как бы скелет кристаллической решетки, олицетворяющий собой всю ее трансляционную симметрию, т. е. всю ее периодичность. Все ее атомы могут быть совмещены друг с другом путем той или иной трансляции решетки.

Не следует думать, что атомы решетки Браве должны исчерпывать собой все вообще атомы в кристалле. Более того, они не обязательно исчерпывают собой даже атомы

одинакового сорта. Разъясним это важное обстоятельство на примере, причем для большей наглядности рассмотрим не пространственную решетку (каковой в действительности

является решетка кристалла), а плоскую решетку, которую легче изобразить на чертеже.

Пусть решетка состоит только из одинаковых атомов, которые на рис. 12, а обозначены точками. Легко видеть, что, хотя все эти атомы одинакового рода, они отнюдь не

являются в кристаллографическом отношении вполне равноценными (или, как говорят в этой связи, не являются эквивалентными). Действительно, одинаковость расположения всех атомов в решетке Браве означает, что если какой-либо ее атом имеет на некотором расстоянии в определенном направлении соседа, то и все атомы решетки Браве. будут иметь таких же соседей в тех же направлениях и на таких же расстояниях. В этом смысле ясно, что точки типа 1 на рис. 12, а расположены не так, как точки типа 2. Точка 1 имеет соседа 2 на расстоянии й, но точка 2 на таком же расстоянии и в таком же направлении соседа не имеет. Поэтому

точки / и 2 не эквивалентны друг другу и не образуют вместе решетки Браве. Точки же каждого из этих двух типов в отдельности образуют решетки Браве, сдвинутые друг относительно друга на расстояние й.

Если же атомы 2 передвинуть в центры квадратов, построенных наточках 1 (рис. 12,б),то все атомы станут эквивалентными: атом 2 будет иметь соседа 1 на таком же расстоянии (и в таком же направлении), на каком атом 1 имеет соседа 2. В такой структуре все атомы вместе образуют единую решетку Браве.

Из сказанного ясно, что в общем случае кристалл представляет собой несколько решеток Браве, вдвинутых одна в другую. Каждая из них соответствует определенному сорту и расположению атомов, причем все эти решетки, рассматриваемые просто как системы точек, совершенно тождественны.

Если все атомы в кристалле образуют одну решетку Браве, то каждая элементарная ячейка содержит всего по одному атому. Так, на рис. 12, б каждая ячейка (в плоской решетке это — параллелограмм) содержит по одному атому / или 2. [В этой связи заметим, что при подсчете приходящегося на одну ячейку числа атомов к каждой ячейке надо относить лишь одну из ее вершин, а другие вершины — к соседним ячейкам.]

Если же кристаллическая решетка складывается из нескольких решеток Браве, то элементарная ячейка содержит несколько атомов — по одному атому от каждой решетки Браве. Так, в изображенной на рис. 12, а решетке элементарная ячейка содержит два атома: один атом 1 и один атом 2.

Разделение кристалла на основные параллелепипеды — элементарные ячейки — не является однозначным. Элементарную ячейку можно, в принципе, выбрать бесконечным числом способов. Для уяснения этого обратимся снова к рисунку, изображающему плоскую решетку (рис. 13). Ясно, что мы можем с одинаковым правом считать элемен-

тарной ячейкой как параллелограмм а, так и параллелограмм а'.

Существенно, однако, что, несмотря на такую неоднозначность, элементарная ячейка, как бы мы ее ни выбрали, будет содержать одинаковое число атомов и будет иметь одинаковый объем (в плоской решетке — одинаковую площадь: площади параллелограммов а и а', имеющих одинаковые длины основания и высоты, одинаковы). В самом деле, рассмотрим атомы какого-либо одного рода и расположения. Из предыдущего ясно, что в каждой ячейке находится по одному такому атому; поэтому число ячеек в некотором объеме V кристалла всегда равно числу N этих атомов; следовательно, объем одной ячейки равен v—V/N, вне зависимости от способа ее выбора.