§ 43. Кристаллические системы

Решетка Браве является очень важной характеристикой кристалла, и классификация различных типов симметрии кристаллов основывается прежде всего на классификации различных типов решеток Браве.

Все решетки Браве обладают трансляционной симметрией. Но, помимо этой симметрии, они могут обладать также и теми элементами симметрии, о которых шла речь в § 40,— различными осями и плоскостями симметрии. Именно об этой симметрии и идет речь в излагаемой ниже классификации.

Так, каждый узел решетки Браве является центром симметрии. Действительно, каждому атому в решетке соответствует другой атом, расположенный на одной прямой с рассматриваемым узлом и первым атомом таким образом, что расстояния обоих атомов от узла одинаковы. Поэтому центром симметрии обладает любая решетка Браве. Но решетки Браве могут обладать и большей симметрией.

Тело конечных размеров — молекула — может обладать, в принципе, осью симметрии любого порядка. В противоположность этому периодическая структура — кристаллическая решетка — может иметь оси симметрии лишь очень немногих порядков: 2-го, 3-го, 4-го и 6-го. В самом деле, наличие в решетке, например, оси симметрии 5-го порядка   означало бы   возможность  найти в решетке

плоскость, усеянную узлами, образующими правильные пятиугольники. Но это заведомо невозможно, так как плоскость можно заполнить без просветов только правильными треугольниками, квадратами и шестиугольниками. Для того чтобы доказать это, рассмотрим какую-либо точку на плоскости, в которой сходятся ребра заполняющих эту плоскость многоугольников. Так как это заполнение происходит без просветов, то угол многоугольника (угол между двумя его соседними ребрами) должен быть равен целой части от 2л, т. е. должен быть равен 2п/р, где р — какое-либо целое число. С другой стороны, известно, что угол в правильном n-угольнике равен п(п—2)/п. Поэтому мы получаем равенство

откуда видно, что величина

должна быть целым числом. Но это имеет место лишь при п=3, 4, 6.

Таким образом, мы видим, что в решетках возможны далеко не все виды симметрии. Это приводит к тому, что существует лишь сравнительно небольшое число типов симметрии решеток Браве. Эти типы называются кристаллическими системами. Перечислим их здесь.

1. Кубическая система. Наиболее симметричной решеткой Браве является решетка, имеющая симметрию куба (вместо того чтобы перечислять оси и плоскости симметрии решетки, мы просто указываем геометрическую фигуру — в данном случае куб,— обладающую такой же симметрией).

Мы получим такую решетку, расположив атомы в вершинах кубических ячеек. Но это не единственный способ построения решетки Браве с симметрией куба. Очевидно, что мы не нарушим кубической симметрии, если поместим по атому также и в центрах всех кубических ячеек; в то же время все атомы — в вершинах и в центрах кубических ячеек — будут иметь одинаковое взаимное расположение (имеют одинаковых соседей), т. е. относятся все к одной решетке Браве. Можно также построить кубическую решетку Браве, добавив к атомам в вершинах кубических ячеек еще по атому в центрах всех их граней.

Подпись:

Таким образом, существуют три различных решетки Браве, относящихся к кубической системе. Их называют простой, объемноцентрированной и гранецентрированной решетками (и обозначают соответственно символами Р, I и F). На рис. 14 показано расположение атомов в ячейках этих решеток.

Кубическая ячейка простой решетки Браве является вто же время и элементарной ячейкой. Ячейки же решеток1 и F отнюдь не являются элементарными; это видно уже изтого, что в этих ячейках находится более чем по одномуатому. На рис. 15 показаны (жирными линиями) элементар-ные ячейки всех трех типов кубических решеток. В куби-ческой объемноцентрированной ячейке находятся два ато-ма (например, атомы / и /' на рис. 15), а в гранецентриро-ванной ячейке — четыре атома (атомы /,  /"' на

рисунке); остальные атомы надо считать относящимися к следующим ячейкам. Отсюда следует, что объемы элементарных ячеек в объемноцентрированной и гранецентрированной решетках равны соответственно а3/2 и а3/4, где а — длина ребра основного куба.

Длина а называется постоянной решетки. Это есть единственный численный параметр, которым должна характеризоваться кубическая решетка.

Элементарные ячейки в объемно- и гранецентрирован-ных решетках сами по себе имеют форму, не обладающую симметрией куба, свойственной решетке. В этом смысле изображение структуры кристалла с помощью таких ячеек не столь наглядно выявляет его симметрию, как изображение с помощью кубических, неэлементарных ячеек. Поэтому обычно характеризуют расположение атомов в кристалле именно по отношению к этим последним ячейкам. При этом

пользуются прямоугольной системой координат с осями X, Y, Z вдоль трех ребер кубической ячейки, а в качестве единицы измерения координат выбирается постоянная а. Так, атом, находящийся в центре кубика, характеризуется тремя координатами 1/2, 1/2, V2; координаты 1/2, 1/2, 0 относятся к атому, находящемуся в центре грани, совпадающей с плоскостью XY, и т. п.

2.         Тетрагональная (или квадратная) система. Если вы-тянуть куб вдоль направления одного из ребер, получитсяменее симметричная геометрическая фигу-ра — прямая квадратная призма. Ее сим-метрия отвечает симметрии решеток Бравететрагональной системы.

Таких решеток существует два вида: простая и объемноцентрированная (их ячейки тоже изображены на рис. 14). На первый взгляд кажется, что можно было бы построить решетку с той же симметрией, добавив к ячейке простой решетки еще по одному атому в центрах оснований призм (рис. 16). Но легко видеть, что такая решетка свелась бы снова к простой тетрагональной решетке Браве просто путем другого выбора основной квадратной призматической ячейки, т. е. мы не получаем ничего нового. Действительно, соединив атомы в центрах оснований двух соседних ячеек с атомами в их вершинах (как это показано на рис. 16), мы получим новую призму, не отличающуюся по своей симметрии от исходной, но содержащую атомы лишь в своих вершинах. По аналогичной же причине не существует гране-центрированной тетрагональной решетки Браве — она сводится к объемноцентрированной.

Тетрагональная решетка характеризуется двумя постоянными: длиной стороны основания а и высотой с призматической ячейки.

3.         Ромбическая (или ортогональная) система. Еслирастянуть куб вдоль двух его ребер, причем неодинаковымобразом, то мы получим прямоугольный параллелепипед стремя различными длинами ребер. Симметрия этой фигу-ры и соответствует симметрии решеток ромбической системы.

Ромбические решетки Браве существуют четырех типов: простая, объемноцентрированная, гранецентрированная и

с центрированными основаниями (последняя обозначается символом С). На рис. 14, как и для других систем, изображены основные параллелепипеды ромбических решеток, имеющие форму, соответствующую всей симметрии данной системы; и здесь они совпадают с элементарной ячейкой лишь в случае простой решетки Браве.

Ромбическая решетка характеризуется тремя параметрами: длинами а, Ъ, с ребер призматической ячейки. Эти величины выбираются в качестве единиц длины вдоль осей прямоугольной системы координат, направленных вдоль соответствующих ребер ячейки.

Моноклинная система имеет еще более низкую симметрию. Она соответствует симметрии фигуры, которая получится из прямоугольного параллелепипеда, если его «скосить» в направлении одного из ребер; это есть прямой параллелепипед с произвольным основанием. К этой системе относятся две решетки Браве (Р и С на рис. 14).

Моноклинная решетка характеризуется четырьмя параметрами — длинами а, Ь, с трех ребер ячейки и углом р" между двумя из них (остальные углы — прямые). И здесь для описания положения атомов применяется система координат с осями вдоль трех ребер ячейки; эта система, однако, будет уже теперь не прямоугольной, а косоугольной.

Триклинная система соответствует симметрии произвольного косого параллелепипеда. Это есть наиболее низкая симметрия (содержащая в себе лишь центр симметрии). Сюда относится всего один тип решеток Браве Р, характеризующийся длинами а, Ъ, с трех ребер своей ячейки и углами а, р, у между ними.

Несколько особняком стоят еще две кристаллические системы.

Гексагональная система. Решетки этой системы обладают очень высокой симметрией, соответствующей симметрии правильной шестигранной прямой призмы. Решетка Браве этой системы (обозначенная символом Н) может быть осуществлена только одним способом: ее узлы расположены в вершинах шестигранных призм и в центрах их шестиугольных оснований.

Гексагональная решетка определяется двумя параметрами: длиной стороны основания а и высотой с призматической ячейки. Элементарной же ячейкой в этой решетке является параллелепипед (с основанием в виде ромба), указанный на рис. 14 пунктирными линиями. Ребра этой элементарной ячейки (высота с и две стороны а основания с углом 120° между ними) выбираются в качестве осей координат для описания положения атомов в решетке.

7. Ромбоэдрическая система соответствует симметрии ромбоэдра — фигуры, получающейся путем растяжения (или сжатия) куба по направлению одной из его пространственных диагоналей (без изменения длин его ребер); все его грани представляют собой одинаковые ромбы. В единственной возможной в этой системе решетке Браве (символ R) узлы расположены в вершинах ромбоэдров. Эта решетка характеризуется двумя параметрами: длиной а ребер ячейки и углом а между ними (при а=90с ромбоэдр превращается в куб).

На этом заканчивается перечисление различных решеток Браве. Мы видим, что всего имеется семь типов симметрии решеток Браве — семь кристаллических систем. Этим системам соответствуют 14 различных типов решеток Браве.

Кристаллические системы являются основой классификации кристаллов и в первую очередь указываются при характеристике свойств кристалла. Часто применяемые для краткости слова «гексагональный кристалл», «кубический кристалл» и т. п. надо понимать именно как указание на его кристаллическую систему (а не, например, на внешнюю форму того или иного образца).

Укажем также, что кристаллы ромбоэдрической, гексагональной и тетрагональной систем (решетки которых характеризуются двумя параметрами) называют одноосными, а Кристаллы триклинной, моноклинной и ромбической систем — двуосными.