§48. Кристаллические плоскости

При изучении кристаллов часто приходится рассматривать различные пересекающие их плоскости. Это может быть плоскость, представляющая собой естественную огранку кристалла. Это могут быть плоскости, обладающие определенными физическими свойствами; например, если раскалывать кристалл ножом, то обычно раскалывание происходит по определенным, выделенным по своим свойствам, плоскостям в кристалле. Наконец, рассмотрение различных плоскостей в решетке необходимо в связи с методами структурного анализа, осуществляемого с помощью рентгеновских лучей.

Ясно, что каким-либо физическим смыслом могут обладать лишь плоскости, проходящие через атомы кристалла (т. е. через узлы его решетки). Именно такие плоскости мы и будем рассматривать; их называют кристаллическими плоскостями.

В § 43 уже было указано, что при изучении кристаллов пользуются системой координат (в общем случае косоугольной), оси которой определенным образом связаны с ребрами ячейки решетки Браве, причем координаты измеряются в единицах длин а, Ь, с этих ребер (в общем случае различных).

Обозначим эти координаты буквами х, у, г. Координаты узлов решетки Браве изображаются целыми числами (или целыми числами с половинками, но это обстоятельство ничего не изменит в дальнейших рассуждениях).

Общее уравнение плоскости имеет вид

(так оно выглядит как в прямоугольных, так и в косоугольных координатах). Если Z, т, п, k — целые числа, то это равенство, рассматриваемое как одно уравнение для трех неизвестных величин х, у, z, имеет бесчисленное множество целочисленных решений. Другими словами, в плоскости содержится бесчисленное множество узлов решетки, т. е. мы имеем кристаллическую плоскость.

Легко выяснить смысл чисел /, т, п. Положив в уравнении j/=z=0, мы получим x=k/l; это есть координата точки, в которой плоскость пересекает ось х. Аналогичным

образом найдем, что отрезки, отсекаемые плоскостью на осях у иг, равны k/m и k/n. Отсюда заключаем, что длины отрезков, отсекаемых плоскостью на всех трех осях, относятся друг к другу, как

т. е. они обратно пропорциональны числам /, т, п. Напомним, что речь идет о длинах, измеряемых в единицах а, Ъ, с;

в обычных единицах эти длины находятся в отношении

Таким образом, мы видим, что числами I, т, п определяется направление плоскости, ее ориентация относительно осей решетки; число же k зависит не от направления плоскости, а от ее расстояния до начала координат. Придавая числу k различные целые значения, мы получим (при заданных значениях чисел т, п) целое семейство параллельных кристаллических плоскостей. В кристаллической плоскости нас интересует именно ее направление, а не абсолютное положение в решетке. В этом смысле плоскость полностью задается тройкой чисел т, п. При этом еще можно сократить эти числа на их общий наибольший делитель; очевидно, что это не изменит направления плоскости. Определенные таким образом числа т, п называются индексами кристаллической плоскости и записываются в круглых скобках в виде (1тп).

Рассмотрим в качестве примера некоторые плоскости в кубической решетке.

Плоскость, перпендикулярная оси х (рис. 26), отсекает на осях отрезки 1, оо, оо; обратные значения этих величин равны 1, 0, 0, так что индексы плоскости: (100). Аналогично индексы плоскостей, перпендикулярных осям у и г, будут (010) и (001). Совокупность таких плоскостей ограничивает собой тело кубической формы; поэтому их часто называют плоскостями куба.

Диагональная плоскость, параллельная оси г, отсекает одинаковые отрезки по осям х и у (рис. 27, а). Поэтому она имеет индексы (ПО). Такие диагональные плоскости называют плоскостями ромбического додекаэдра — по названию двенадцатигранника, ограниченного плоскостями такого рода (рис. 27, б).

Диагональная плоскость куба (рис. 28, а) отсекает одинаковые отрезки на всех трех осях, так что она имеет индексы (111). Такого рода плоскости называют плоскостями октаэдра — по названию образуемого ими правильного восьмигранника с треугольными гранями (октаэдр, изображенный на рис. 28, б, получается соединениями между собой центров шести граней куба).