§ 53. Идеальный газ

Наиболее простыми тепловыми свойствами обладает газ, который настолько разрежен, что взаимодействие между его молекулами практически не играет никакой роли. Такой газ, в котором можно пренебречь взаимодействием между молекулами, называется идеальным газом.

Не следует, однако, думать, что взаимодействие между молекулами идеального газа вовсе отсутствует. Напротив, его молекулы сталкиваются друг с другом и эти столкновения существенны для самого факта установления определенных тепловых свойств газа. Но столкновения происходят настолько редко, что большую часть времени молекулы газа движутся как свободные частицы.

Выведем уравнение состоя ния идеального газа, т. е. зависимость между его давлением, объемом и температурой. Представим себе для этого, что газ заключен в сосуд, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, и будем считать, что его стенки являются «идеально отражающими»: они отражают сталкивающиеся с ними молекулы под теми же углами, под которыми молекулы падают на стенку, без изменения величины их скорости. (На рис. 1 v и v' — скорости молекулы до и после столкновения; они имеют одинаковую величину и образуют одинаковый угол а со стенкой.) Эти предположения делаются для простоты; ясно, что внутренние свойства газа как такового не могут в действительности зависеть ни от формы сосуда, ни от свойств его стенок.

Определим давление газа на одну из граней параллелепипеда. Для этого надо определить импульс, передаваемый этой грани за 1 секунду сталкивающимися с ней молекулами. Так как при столкновении меняется только перпендикулярная поверхности стенки составляющая скорости vz, причем это изменение сводится только к изменению ее знака, то импульс, передаваемый при одном столкновении, равен mvz—(—mvz)—2mvz, где m — масса молекулы. Двигаясь как  свободная,  молекула   проходит расстояние между

противоположными стенками (обозначим его h) за время h/vz, так что она вернется обратно к первой стенке по истечении времени 2h/vz. Всего, следовательно, за 1 сек каждая молекула сталкивается с данной стенкой vJ2h раз и

передает ей при этом импульс, равный 2mvz~i = mvllh. Полная сила Fz, действующая на стенку, есть импульс, получаемый ею в 1 сек от всех молекул газа,

где знак 2 означает суммирование по всем молекулам.

Если число молекул в сосуде равно N, то стоящую здесь сумму можно написать в виде произведения N на среднее значение mv\. Но так как все направления по отношению к самому газу совершенно равноценны, то mvl=mv\ = ^=mv\   и, поскольку v\ -\-v\ -\-v\ =и2, то

Таким образом,

Заменяя здесь Fz на pS, где р — давление газа и S — площадь грани, и замечая, что hS представляет собой объем V параллелепипеда, получим

Ко по определению температуры среднее значение кине-

з

тической энергии молекулы равно у kT; поэтому окончательно получим следующее уравнение состояния идеального газа:

Это уравнение имеет универсальный характер — в него не входят никакие величины, которые зависели бы от природы газа. Это обстоятельство является естественным результатом пренебрежения взаимодействием между молекулами, лишающего газ его «индивидуальности».

Если взять два различных идеальных газа, находящихся в одинаковых объемах при одинаковых давлении и темпера-

туре, то количества молекул в обоих газах будут одинаковыми. Это так называемый закон Авогадро. В частности, в кубическом сантиметре любого идеального газа при нормальных условиях, т. е. при температуре 0° С и давлении 1 атм, содержится

(это число иногда называют числом Лошмидта).

Число молекул N в газе можно записать KaK/V=vN0, где v — число грамм-молекул (молей) газа, a N0— число Авогадро. Тогда уравнение состояния представится в виде

где R=kN0 — так называемая газовая постоянная. В частности, для одного моля газа имеем

Перемножив значения k и N0, найдем, что

(если в качестве единицы энергии используется калория,

то R с большой точностью равно 2 ———^ ); слово моль

г          моль-град J

в символе размерности означает 1 грамм-молекулу.

Если давление газа измеряется в атмосферах, а объем —

в литрах, то

Пользуясь этим значением, легко определить объем грамм-молекулы газа при давлении 1 атм и температуре 0° С:

При постоянной температуре произведение объема и давления определенного количества газа является постоянной величиной

pV = const   при   Т = const.

Это — известный закон Бойля — Mapuomma.

Из уравнения состояния идеального газа следует также, что если некоторое количество газа находится при

постоянном давлении, то его объем пропорционален абсолютной температуре газа:

где V и V0— значения объема газа при температурах Т и Г0. Аналогичным образом

Эти важные соотношения показывают, что абсолютная шкала температур может быть построена без измерения скоростей и энергий молекул, путем использования свойств идеальных газов.

Если Т0 — температура замерзания воды и вместо абсолютной температуры газа Т ввести температуру t по шкале Цельсия (Г=273+t), то написанное соотношение между объемом и температурой газа примет вид

Это — известный закон Гей-Люссака, согласно которому при нагревании на 1° объем газа увеличивается на 1/273 часть своего объема при 0° С.

При выводе уравнения состояния идеального газа мы не пользовались тем, что все его молекулы одинаковы. Поэтому это уравнение'людится и в том случае, когда газ представляет собой смесь различных идеальных газов,— снова естественный результат пренебрежения взаимодействием молекул. При этом нужно только под N понимать общее число молекул газа, т. е. сумму чисел молекул разных сортов: N=N1+N2+..., где N; — число молекул г'-го сорта. Переписав уравнение состояния газа в виде

и замечая, что если бы весь объем занимали только молекулы i-ro сорта, то давление р,- удовлетворяло бы соотношению p;V=N;kT, мы приходим к выводу, что

т. е. давление смеси газов равно сумме тех давлений, которые производили бы отдельные газы этой смеси, занимая весь объем (закон Дальтона). Давления р1; р2>... называются парциальными давлениями соответствующих газов.