§ 54. Идеальный газ во внешнем поле

Рассмотрим идеальный газ, находящийся в каком-либо силовом поле, например в поле тяжести. Так как на молекулы газа в этом случае действуют внешние силы, то давление газа не будет всюду одинаковым, а будет меняться от точки к точке.

Рассмотрим для простоты случай, когда силы поля имеют неизменное направление, которое мы выберем в качестве оси г. Возьмем две площадки величиной в 1 см2, ориентированные перпендикулярно оси г и находящиеся друг от друга на расстоянии dz. Если давления газа на обеих площадках равны р и p+dp, то разность давлений должна, очевидно, равняться суммарной силе, действующей на частицы газа, заключенные в объеме параллелепипеда с основанием в 1 см2 и высотой dz. Эта сила равна Fndz, где п — плотность молекул (т. е. их число в единице объема), a F — сила, действующая на одну молекулу в точке с координатой г. Поэтому

Сила F связана с потенциальной энергией молекулы U(z) соотношениемтак что

Так как газ предполагается идеальным, то pV—NkT. Замечая, что NjV=n, можно переписать это уравнение в виде p=nkT. Будем предполагать, что температура газа в различных точках одинакова. Тогда

Приравняв это выражение полученному выше выражению ф=—ndU, найдем

Отсюда

и окончательно

Здесь n0— постоянная, представляющая собой, очевидно, плотность молекул в точке, где £/=0.

Полученная формула, связывающая изменение плотности газа с потенциальной энергией его молекул, называется формулой Больцмана. Давление отличается от плотности постоянным множителем kT, поэтому такое же уравнение справедливо и для давления

В случае поля тяжести вблизи земной поверхности потенциальная энергия молекулы на высоте z равна U=mgz, где т — масса молекулы. Поэтому, если считать температуру газа не зависящей от высоты, то давление р на высоте z будет связано с давлением р0 на поверхности Земли соотношением

Эту формулу называют барометрической формулой. Ее удобнее представить в виде

где [г — молекулярный вес газа, R — газовая постоянная.

Эту формулу можно применять и в случае смеси газов. Поскольку молекулы идеальных газов практически не взаимодействуют друг с другом, каждый газ можно рассматривать отдельно, т. е. аналогичная формула применима к парциальному давлению каждого из них.

Чем больше молекулярный вес газа, тем быстрее его давление убывает с высотой. Поэтому атмосфера по мере увеличения высоты все более обогащается легкими газами; кислород, например, убывает в атмосфере быстрее, чем азот.

Следует, однако, иметь в виду, что применимость барометрической формулы к реальной атмосфере весьма ограничена, поскольку атмосфера в действительности не находится в тепловом равновесии и ее температура меняется с высотой.

Из формулы Больцмана можно сделать интересное заключение, если попытаться применить ее к атмосфере на любых расстояниях от Земли. На очень больших расстояниях от земной поверхности под U нужно понимать не mgz, а точное значение потенциальной энергии частицы

где С — гравитационная постоянная, М — масса Земли и г — расстояние от центра Земли (см. § 22). Подстановка этой энергии в формулу Больцмана дает следующее выражение для плотности газа:

где мы обозначили теперь плотность газа в месте, где U=0 (т. е. на бесконечном расстоянии от Земли) через пт. Положив здесь г равным радиусу Земли R, найдем соотношение между плотностью атмосферы на поверхности Земли л0 и на бесконечности п„:

Согласно этой формуле плотность атмосферы на бесконечно большом расстоянии от Земли должна была бы быть отлична от нуля. Такой вывод, однако, абсурден, так как атмосфера имеет земное происхождение, и конечное количество газа не может быть распределено по бесконечному объему с нигде не исчезающей плотностью. Мы пришли к этому выводу потому, что молчаливо предполагали атмосферу находящейся в состоянии теплового равновесия, что не соответствует действительности. Но этот результат показывает, что гравитационное поле вообще не может удержать газ в состоянии равновесия, а потому атмосфера должна непрерывно рассеиваться в пространстве. В случае Земли это рассеяние чрезвычайно медленно, и за все время своего существования Земля не потеряла сколько-нибудь заметной доли своей атмосферы. Но, например, в случае Луны с ее гораздо более слабым полем тяготения потеря атмосферы происходила гораздо быстрее, и в результате Луна в настоящее время атмосферы уже не имеет.