§ 55. Распределение Максвелла

Тепловая скорость vT представляет собой некоторую среднюю характеристику теплового движения частиц. В действительности различные молекулы движутся с различными скоростями и можно поставить вопрос о распределении молекул по скоростям: сколько (в среднем) из имеющихся в теле молекул обладает теми или иными скоростями?

Решим этот вопрос для идеального газа, находящегося в состоянии теплового равновесия. Для этого рассмотрим

столб газа, находящийся в однородном поле тяжести. Будем сначала интересоваться распределением молекул по значениям лишь одной (вертикальной) компоненты скорости, vz. Обозначим посредством

число молекул в 1 см3 газа, у которых значение этой компоненты лежит в бесконечно малом интервале между некоторым vz и vz\-dvz. Здесь п — полное число молекул в данном объеме, так что функция f(vz) определяет долю числа молекул с тем или иным значением vz.

Рассмотрим молекулы со скоростями в интервале dvz, находящиеся в бесконечно тонком (толщины dz) слое газа на высоте z. Объем этого слоя совпадает с dz (если площадь сечения столба газа 1 см2), поэтому число рассматриваемых молекул равно

где n(z) — плотность газа на высоте z. Двигаясь как свободные (столкновениями в идеальном газе можно здесь пренебречь), эти молекулы с течением времени перейдут на некоторую другую высоту z', заняв слой толщины dz' и приобретя скорости в интервале между некоторым v'z и v'z -\-dv'z. Неизменность числа эТих молекул выражается равенством

При движении в поле тяжести горизонтальные составляющие скорости (vx, vy) не'меняются, а изменение vz определяется законом сохранения энергии, согласно которому

Дифференцируя это равенство (при заданных постоянных значениях z и z'), получим соотношение

между интервалами dvz и dv'z, в которых заключены вертикальные скорости рассматриваемых молекул на высотах гиг'. Толщины же слоев dz и dz' связаны друг с другом соотношением

оно выражает собой просто то обстоятельство, что за время dt=dz/vz, в течение которого молекула пересекает слой dz на высоте z, на высоте z' она пройдет расстояние dz'=v'zdt. Перемножив почленно оба соотношения, найдем

Поэтому в написанном выше условии постоянства числа молекул дифференциалы в обеих сторонах равенства взаимно сокращаются, и мы получаем

С помощью барометрической формулы находим отсюда:  Вспомнив теперь, что  получим-

т. е. это произведение есть константа, не зависящая от vz. Другими словами, функция f{vz) имеет вид

[Обратим внимание на то, что ускорение силы тяжести в эту формулу не вошло. Так и должно быть, поскольку механизм установления распределения молекул газа по скоростям заключается в столкновениях молекул друг с другом и не имеет отношения к внешнему полю; последнее играло в изложенном выводе лишь вспомогательную роль: введя это поле, мы связали распределение по скоростям с уже известной нам формулой Больцмана.]

Мы нашли равновесное распределение молекул по значениям одной отдельной компоненты их скорости. Доля же молекул, обладающих определенными значениями всех трех компонент скорости одновременно, получится, очевидно,

перемножением долей молекул, обладающих определенными значениями каждой из компонент в отдельности. Другими словами, полная функция распределения имеет вид

Складывая показатели степеней и замечая, что сумма o|-f-есть квадрат v2 абсолютной величины скорости, получаем окончательно

Таким образом, число dN молекул в газе, компоненты скорости которых лежат в интервалах между vx, vy, vz и vx+dvx, vy+dvy, vz+dvz, есть

(постоянный коэффициент const определяется условием, чтобы полное число молекул со всеми возможными значениями скоростей было равно заданному числу N молекул в газе; мы не будем выписывать здесь значение этого коэффициента). Полученная формула называется формулой распределения Максвелла.

Обратим внимание на аналогию между этой формулой и формулой Больцмана для распределения плотности газа по пространству во внешнем поле: в обоих случаях мы имеем дело с экспоненциальным выражением вида

/да2

где е — энергия молекулы: кинетическая энергия в случае распределения по скоростям или потенциальная энергия U(x, у, z) во внешнем поле в случае распределения по пространству. Такое выражение часто называют больцманов-ским множителем.

Задание трех компонент vx, vv, vz определяет как величину скорости молекулы, так и ее направление. Но распределение молекул по направлениям скорости просто равномерно— во всех направлениях летят в среднем одинаковые числа молекул. [Это следует из распределения Максвелла, в котором фигурирует только абсолютная величина

скорости v, но очевидно и заранее. Если бы распределение скоростей по направлениям было неравномерным, то в газе существовало бы некоторое преимущественное направление движения молекул; это означало бы, что газ не покоится, а движется в некотором направлении.]

Формулу Максвелла можно преобразовать так, чтобы она прямо отвечала на вопрос о распределении молекул газа по абсолютным значениям скоростей, вне зависимости от их направления. Для этого надо просуммировать числа молекул, различающихся значениями компонент скорости vx,vy, vz при одинаковой сумме vz ~ = V* + v\ -f- v\. Это легко сделать, воспользовавшись следующей геометрической

аналогией. Если ввести систему координат, на осях которой откладываются значения vx, vy, vz, то произведение dvxdvydv2 будет представлять собой объем бесконечно малого параллелепипеда с длинами сторон dvx, dvy, dvz. Мы должны просуммировать все такие элементарные объемы, находящиеся на одинаковом расстоянии от начала координат (очевидно, что v представляет собой длину «радиуса-вектора» в этих координатах). Эти объемы заполнят шаровой слой между двумя бесконечно близкими сферами с радиусами v и v-\-dv. Его объем равен произведению площади сферической поверхности 4ли2 на толщину слоя dv.

Таким образом, заменив в формуле распределения Максвелла произведение dvxdv^ivz на AnxMv, мы найдем число молекул со скоростями в интервале значений между v и v-\-dv:

Выражение, стоящее в этой формуле перед dv, представляет собой число молекул, отнесенное к единичному интервалу значений скорости. Как функция от v оно Имеет вид, изображенный на рис. 2. Оно равно нулю при v=0, достигает максимума при некотором и=о0 и очень быстро стремится

к нулю с дальнейшим возрастанием скорости. Максимум

кривой соответствует значениюнесколько меньшему, чем определенная в § 50 тепловая скорость vT.

Поскольку разные молекулы имеют различные скорости, то при определении средних характеристик существенно, какая именно величина подвергается усреднению. Так, среднее значение первой степени скорости v отнюдь не совпадает со скоростью vT=Y ф (которую часто называют также средней квадратичной с целью подчеркнуть ее происхождение). С помощью распределения Максвелла можно показать, что и=0,92 vT.

Распределение Максвелла, выведенное нами здесь для одноатомного газа, может быть в действительности получено и из гораздо более общих теоретических соображений и имеет универсальный характер. Оно справедливо для теплового движения молекул и атомов в любых телах. Следует, однако, подчеркнуть, что распределение Максвелла основано на классической механике. Поэтому его справедливость в такой же мере ограничена квантовыми явлениями, как и вообще применимость классической механики к тепловому движению.

Экспериментальное изучение распределения скоростей теплового движения осуществляется различными методами, использующими молекулярные пучки. Последние получаются выпусканием в откачанную камеру молекул, испаряющихся с нагреваемого в специальной печке вещества; камера откачивается до такого вакуума, чтобы молекулы летели в ней, практически не испытывая столкновений.

Один из таких методов основан на идее механического селектора скоростей, заключающейся в следующем. В откачанном пространстве вращаются насаженные на общую ось (на расстоянии /) два круговых диска с радиальными прорезями, смещенными друг относительно друга на некоторый угол а (рис. 3). На эти диски направляется из печки П через диафрагму D молекулярный пучок. Молекула, про-

ходящая через прорезь в первом диске со скоростью v, достигает второго диска через время t=l/v. За это время диск повернется на угол Qt=Ql/v, где Q — угловая скорость вращения. Поэтому пройдут через прорезь во втором диске (и оставят след на экране Э) лишь молекулы со скоростью, удовлетворяющей равенству Ql/v=a. Меняя скорость вращения дисков и измеряя плотность налета на экране, мы тем самым определим отношение чисел частиц с различными скоростями.

Экспериментальная проверка распределенияМаксвел- ла была осуществлена также путем наблюдения отклонения молекулярного пучка в поле тяжести. Атомы цезия, нагреваемого в печке / (рис. 4) и вылетающие из отверстия в ней, попадают в откачанную камеру. Узкий пучок, выделяемый диафрагмами 2 и 3, отклоняется вниз полем тяжести и улавливается детектором — горизонтальной горячей вольфрамовой тонкой проволочкой 4, которую можно располагать на различных расстояниях h ниже оси прибора (атомы цезия, попадая на проволочку, покидают ее снова в виде положительных ионов, собираемых отрицательно заряженной пластинкой). Отклонение h атома зависит от его скорости v (оно составляло в опытах десятые доли миллиметра при длине пути пучка в 2 м). Измеряя интенсивность пучка на различных расстояниях h, мы тем самым узнаем распределение атомов в пучке по скоростям.