§ 56. Работа и количество тепла

При расширении тело перемещает окружающие его тела, т. е. производит над ними работу.

Рассмотрим, например, газ, находящийся под поршнем в цилиндрическом сосуде. Если газ, расширяясь, передвигает поршень на бесконечно малое расстояние dh, то он производит над ним работу dA, равную произведению Fdh, где F — сила, действующая на поршень со стороны газа. Но по определению давления F=pS, где р — давление газа, a S — площадь поршня. Поэтому dA—pSdh. Замечая,

что произведение Sdh есть увеличение объема газа dV, окончательно находим

Эта простая и важная формула определяет работу при элементарном процессе бесконечно малого изменения объема тела. Мы видим, что эта работа зависит только от давления тела и общего изменения его объема, но не зависит от его формы. [Во избежание недоразумений, сразу оговоримся, что это утверждение не относится к твердым телам, см. §101.1

Работа dA положительна при расширении тела (йУ>0), когда тело производит работу над окружающей средой. Напротив, при сжатии тела (dV<cO) работа производится над

телом со стороны окружающих тел; при нашем определении dA этому случаю соответствует отрицательнаяработа.

Произведенная при томили ином процессе работа допускает наглядную геометрическую интерпретацию, еслиизо-бразить процесс графически с помощью кривой в координатах р, V. Пусть, например, изменение давления газа при его расширении изображается кривой 1—2 на рис. 5. При увеличении объема на dV совершаемая газом работа равна pdV, т. е. площади заштрихованного бесконечно узкого прямоугольника. Поэтому полная работа, совершаемая газом при расширении от объема Vt до объема 1/2, складываясь из элементарных работ dA, изобразится площадью 1 2 V2Vlt заключенной под кривой и ограниченной двумя крайними вертикальными линиями. Таким образом, площадь диаграммы сразу дает работу, совершаемую телом в рассматриваемом процессе.

Часто приходится иметь дело с круговыми процессами, в результате которых тело возвращается в исходное состояние. Пусть, например, с газом происходит процесс, изображающийся замкнутой кривой 1а2Ы на рис. 6. На участке 1а2 газ расширяется и производит работу, изображаемую

площадью под кривой 1а2. На участке же 2Ы газ сжимается , так что совершаемая работа отрицательна, а по величине равна площади под кривой 2Ы. Суммарная произведенная газом работа равна, следовательно, разности этих двух площадей, т. е. изображается заштрихованной на рисунке площадью, заключенной внутри замкнутой кривой.

Полная работа А, производимая телом при расширении от некоторого объема Vx до объема V2, выражается особенно просто для процесса, происходящего при постоянном давлении. Очевидно,в этом случае

Определим еще работу, со вершаемую  при изотермическом расширении идеального газа. Для одной грамм-молекулы газа давление p—RT/V; поэтому

а так как температура Т остается постоянной, то можно написать dA=d(RT In V). Отсюда следует, что работа А равна разности значений величины RT In V в конце и в начале процесса, т. е.

Если тело не получает извне никакой энергии, то работа при расширении производится за счет его внутренней энергии. Эта энергия, которую мы будем обозначать буквой Е, включает в себя кинетическую энергию теплового движения атомов вещества и потенциальную энергию их взаимодействия друг с другом.

Однако изменение внутренней энергии тела при некотором процессе, вообще говоря, не совпадает с произведенной работой. Дело в том, что тело может получать (или отдавать) энергию также и путем ее непосредственного перехода от других тел, без совершения при этом механической работы. Получаемую таким образом энергию называют количеством тепла; мы будем считать эту величину положительной,

если тело получает тепло, и отрицательной, если оно отдает тепло.

Таким образом, бесконечно малое изменение внутренней энергии тела складывается из двух частей: она возрастает за счет полученного телом количества тепла (которое мы обозначим dQ) и убывает за счет произведенной телом работы dA. Мы можем написать, следовательно,

Это важное соотношение выражает закон сохранения энергии при тепловых процессах (или, как его называют в этой связи, первый закон термодинамики).

Необходимо подчеркнуть, что работа и количество тепла зависят не только от начального и конечного состояний тела, но и от пути, по которому происходило изменение состояния тела. По этой причине никак нельзя говорить о «количестве тепла, заключенном в теле» и рассматривать тепловой эффект процесса как разность этих количеств в конечном и начальном состояниях. Бессмысленность такого понятия в особенности наглядно проявляется при круговом процессе, когда тело возвращается в исходное состояние, между тем как общее количество поглощенного (или выделенного) тепла отнюдь не равно нулю.

Лишь внутренняя энергия Е является, как говорят, функцией состояния: в каждом определенном состоянии тело обладает определенной энергией. Поэтому и полное изменение энергии тела при процессе является величиной, зависящей лишь от конечного и начального состояний (разность £2—Ег энергий в этих состояниях). Разделение же этого изменения на количество тепла Q и работу А неоднозначно и зависит от пути перехода из начального в конечное состояние. В частности, при круговом процессе полное изменение энергии равно нулю, а поглощенное телом количество тепла Q и произведенная им работа А отличны от нуля и связаны друг с другом равенством Q=A.

В тепловых измерениях в качестве единицы количества тепла до недавнего времени использовалась особая единица энергии — калория (кал). Определение этой единицы как количества тепла, нужного для нагревания 1 г воды на 1°, недостаточно точно, так как теплоемкость воды сама зависит несколько от температуры. В связи с этим существовали

различные определения калории, несколько отличающиеся друг от друга по величине. Приблизительное соотношение между калорией и джоулем таково:

1 кал = 4,18 дж.

Если при поглощении количества тепла dQ температура тела повышается на аТ, то отношение

называют теплоемкостью тела. Такое определение, однако, само по себе еще недостаточно, так как требуемое для нагревания количество тепла зависит не только от изменения температуры, но и от других условий, в которых производится нагревание; необходимо еще указать, что происходит с другими, помимо температуры, свойствами тела. В связи с этой неоднозначностью возможны и различные определения теплоемкости.

Наиболее употребительны в физике так называемые теплоемкость при постоянном объеме Cv и теплоемкость при постоянном давлении Ср, определяющие количества тепла при нагревании тела в условиях, когда поддерживаются неизменными соответственно его объем или давление.

Если объем остается постоянным, то dV=0 и dQ=dE, т. е. все тепло идет на увеличение внутренней энергии тела. Поэтому мы можем написать

Индекс V у производной означает, что дифференцирование производится при постоянном значении V. Такое указание необходимо, так как энергия тела зависит, вообще говоря, не только от температуры, но и от других величин, характеризующих состояние тела, и результат дифференцирования зависит от того, какая именно из этих величин предполагается постоянной.

Если при нагревании остается постоянным давление тела, то тепло идет не только на увеличение внутренней энергии, но и на совершение работы. Количество тепла в этом случае можно написать в виде

так как p=const. Мы видим, что количество тепла оказывается равным изменению величины

Эта величина называется тепловой функцией (употребляются также названия теплосодержание и энтальпия); наряду с энергией она является определенной функцией состояния-тела. Таким образом, теплоемкость при постоянном давлении может быть вычислена как производная

Теплоемкость Ср всегда больше теплоемкости Cv:

На первый взгляд могло бы показаться, что это неравенство связано просто с работой, которую должно произвести тело, расширяясь при нагревании (при постоянном давлении). Это, однако, не так, и неравенство относится в равной степени как к телам, расширяющимся при нагревании, так и к тем (немногим) телам, объем которых при нагревании уменьшается. В действительности оно является следствием одного из очень общих положений учения о теплоте, заключающегося в следующем.

Внешнее воздействие, выводящее тело из состояния теплового равновесия, стимулирует в нем процессы, стремящиеся как бы ослабить результат этого воздействия. Так, нагревание тела стимулирует процессы, связанные с поглощением тепла; наоборот, охлаждение способствует процессам, при которых тепло выделяется. Это положение называется принципом Ле Шателье.

Представим себе, что телу, находящемуся в равновесии с внешней средой, сообщается некоторое количество тепла таким образом, что объем тела остается неизменным; при этом температура повышается на некоторую величину (AT)v. В результате такого нагревания изменится также и давление тела, так что нарушится условие равновесия, согласно которому давление тела должно быть равно давлению окружающей среды. Согласно принципу Ле Шателье восстановление равновесия, которое привело бы к восстановлению первоначального давления, должно сопровождаться

некоторым охлаждением. Другими словами, изменение температуры тела (АТ)р при неизменном давлении окажется меньше ее изменения {AT)V при постоянном объеме (при одном и том же заданном количестве сообщенного телу тепла). Но это и значит, что для одинакового изменения температуры в случае постоянного давления требуется больше тепла, чем в случае постоянного объема.

В дальнейшем мы еще не раз воспользуемся принципом Ле Шателье, когда будем отвечать на вопросы о том, в каком направлении одна величина меняется при изменении другой.