§61. Стационарный поток

В процессе Джоуля — Томсона газ стационарным образом переходит от одного давления к другому, причем скорость его течения искусственно с помощью трения уничтожается. Однако результаты, полученные при рассмотрении этого процесса, легко обобщить и на случай любого стационарного теплоизолированного потока газа (или жидкости), текущего с отличной от нуля скоростью.

Разница состоит лишь в том, что теперь уже нельзя пренебрегать кинетической энергией текущего газа. Производимая над газом работа идет на увеличение энергии газа, но теперь в эту энергию входит не только его внутренняя энергия, но и кинетическая энергия его движения как целого.

Иными словами, для стационарного потока газа или жидкости выполняется соотношение

или

где W и М — тепловая функция и масса некоторого количества вещества, a v — его скорость в потоке. Написанное

уравнение означает, что величинадля данного

количества вещества одинакова, в каком бы месте потока это вещество ни находилось.

В случае, когда может оказаться необходимым учесть также и потенциальную энергию в поле тяжести (при течении жидкости; для газа вес не играет существенной роли), надо аналогичным образом писать

где z — высота, на которой находится данное место потока.

Предположим, что движение потока не сопровождается сколько-нибудь заметным трением как внутри самого текущего вещества, так и со стороны каких-либо внешних препятствий (этот случай в некотором смысле противоположен процессу Джоуля — Томсона, в котором трение играло существенную роль). В этих условиях можно считать, что теплоизолированным от внешней среды является не только поток в целом (как это было условлено в самом начале), но и движение каждого отдельного участка вещества; при наличии заметного трения это было бы не так, поскольку тепло от трения выделялось бы внутри потока. Другими словами, можно считать, что в процессе движения каждый участок вещества расширяется (или сжимается) адиабатически.

Рассмотрим, например, в этих условиях вытекание газа из сосуда, в котором он находится при давлении р, отличном от атмосферного давления р0. Если вытекание происходит через достаточно маленькое отверстие, то скорость движения газа внутри сосуда можно считать равной нулю. Скорость же вытекающей струи v определится равенством

(мы положили здесь массу М равной 1 г, так что W и W0 — тепловые функции 1 г газа внутри сосуда и в вытекающей струе). Если считать газ идеальным, а его теплоемкость —

не зависящей от температуры, то из формулыили

dW=CpdT (см. § 56) следует, что W— W0=Cp(T—T0), и тогда

Наконец, температуру Т0 в вытекающей струе можно выразить через температуру Г газа в сосуде с помощью полученного в § 59 уравнения адиабатического расширения газа, согласно которому произведение Тр~а~1)Р остается постоянным:

Таким образом, окончательно получаем следующую формулу, определяющую скорость истечения газа:

Течение жидкостей из-за их сравнительно малой сжимаемости обычно не сопровождается сколько-нибудь заметным изменением их объема. Другими словами, текущую жидкость можно рассматривать как несжимаемую, обладающую неизменной плотностью.

Уравнение стационарного течения (без трения) такой жидкости выглядит особенно просто. В этом случае общее уравнение адиабатического процесса (dE+pdV=G) сводится просто к dE—Q, так как dV—Q в силу несжимаемости жидкости. Другими словами, энергия Е остается постоянной, а потому ее можно просто вычеркнуть из левой стороны уравнения

Разделив это уравнение на массу М и замечая, что отношение M/V есть плотность жидкости р, найдем окончательно, что вдоль теплоизолированного стационарного потока несжимаемой жидкости, движущейся без трения, остается постоянной следующая величина:

Это — так называемое уравнение Бернулли.

В качестве примера рассмотрим движение жидкости по трубе переменного сечения, причем для простоты будем

считать, что труба расположена горизонтально. Тогда сила тяжести не оказывает влияния на движение и уравнение Бернулли дает

где »0й1) — скорости течения в каких-либо двух сечениях трубы, а р„ и р — соответствующие давления. Если площади этих сечений равны S0 и 5,то объемы жидкости, проходящей через них в 1 сек, будут равны и uS, а так как жидкость предполагается несжимаемой, то vS=v0S0, откуда

т. е. скорость несжимаемой жидкости в каком-либо сечении обратно пропорциональна его площади. Подставляя это выражение для v в уравнение Бернулли, получим соотношение, связывающее давление с площадью сечения

Мы видим, что в более широких местах трубы давление больше, чем в узких.

Применим теперь уравнение Бернулли к определению скорости струи жидкости, вытекающей из сосуда через маленькое отверстие. Так как площадь отверстия предполагается малой по сравнению с площадью поперечного сечения сосуда, то скоростью понижения уровня жидкости в сосуде можно пренебречь. Учитывая также, что давление на поверхности жидкости в сосуде и давление в струе одинаковы и равны атмосферному давлению, получим из уравнения Бернулли

где v — скорость вытекающей струи, a z2 и гг — высоты поверхности жидкости в сосуде и места вытекания жидкости; отсюда

где h=z2—z1. Эта формула, называемая формулой Торичелли, показывает, что скорость вытекания жидкости из малого отверстия совпадает со скоростью падения тела с высоты h, равной высоте столба жидкости в сосуде над отверстием.