§ 2. Скорость

Изучение законов движения естественно начать с движения тела, размеры которого достаточно малы. Движение такого тела происходит наиболее просто, так как мы можем не принимать во внимание вращение тела, а также перемещение различных частей тела друг относительно друга.

Тело, размерами которого при изучении его движения можно пренебречь, называется материальной точкой и является основным объектом рассмотрения механики. О материальной точке мы будем часто говорить также как о «частице».

Возможность рассматривать движение некоторого тела как движение материальной точки определяется не одними только абсолютными размерами тела, а зависит от условий физической задачи. Например, рассматривая движение Земли вокруг Солнца, можно считать Землю материальной точкой. Однако Землю никак нельзя рассматривать как материальную точку при изучении ее суточного вращения вокруг своей оси.

Положение материальной точки в пространстве полностью определяется заданием трех ее координат, например, трех декартовых координат х, у, г; в этой связи говорят, что материальная точка обладает тремя степенями свободы.

Совокупность трех величин х, у, z образует радиус-вектор частицы г, направленный из начала координат в точку, в которой находится частица.

Движение материальной точки характеризуется ее скоростью. При равномерном движении значение скорости определяется просто как путь, проходимый частицей в единицу времени. В общем случае, когда движение неравномерно и меняет свое направление, скорость частицы следует определить как вектор, равный частному от деления вектора бесконечно малого перемещения частицы ds на соответствующий бесконечно малый интервал времени dt. Обозначая вектор скорости через v, имеем, следовательно,

Направление вектора скорости v совпадает с направлением ds, т. е. скорость в каждый момент времени направ-

лена по касательной к траектории частицы в сторону движения.

На рис. 1 изображена траектория движения некоторой материальной точки и отмечены ее радиусы-векторы г и r-\-dr в моменты времени t и t-\-dt. Пользуясь правилом сложения векторов, легко убедиться, что бесконечно малое смещение точки ds равно разности радиусов-векторов частицы в начальный и конечный моменты времени, ds=drf Поэтому скорость v можно представить в виде

т. е. скорость есть производная от радиуса-вектора движущейся частицы по времени. Поскольку компонентами радиуса-вектора г являются координаты х, у, г точки, то компоненты или проекции скорости на оси координат х, у, г равны производным

Скорость, наряду с положением, является основной величиной, характеризующей состояние движения материальной точки. Состояние частицы определяется, следовательно, шестью величинами: тремя координатами и тремя компонентами скорости.

Установим связь между значениями скоростей v и v' одной и той же материальной точки в двух различных системах отсчета К и К'. Если за время dt материальная точка переместилась относительно системы отсчета К на величину ds, а система К переместилась относительно системы К' на dS, то из правила векторного сложения следует, что смещение материальной точки относительно системы К' будет ds'=ds-\-dS. Разделив обе части этого равенства на ин-тервач времени dt и обозначив скорость системы К относительно К' через V, найдем

Эта формула, связывающая скорости одной и той же материальной частицы в разных системах отсчета, называется правилом сложения скоростей.

На первый взгляд правило сложения скоростей представляется совершенно очевидным. Необходимо, однако, иметь в виду, что оно основано на молчаливо сделанном предположении об абсолютном течении времени. Именно, мы считаем, что интервал «времени, за который частица смещается на величину ds в системе К, равен интервалу времени, за который частица смещается на величину ds' в системе /<"'. Это предположение в действительности оказывается, строго говоря, неправильным, но следствия, вытекающие из неабсолютности времени, начинают проявляться только при очень больших скоростях, сравнимых со скоростью света. В частности, при таких скоростях уже не выполняется правило сложения скоростей. Мы в дальнейшем будем рассматривать лишь достаточно малые скорости, когда предположение об абсолютности времени хорошо оправдывается.

Механика, основанная на предположении об абсолютности времени, называется ньютоновской или классической; только эту механику мы и будем здесь изучать. Основные законы этой механики были сформулированы Ньютоном в его «Математических началах натуральной философии», опубликованных в 1687 г.