§ 1.5. Нечеткие операторы

Важным вопросом использования НМ в моделях управления и искусственного интеллекта является построение соответствующих операторов агрегирования нечеткой информации и анализ их семантики. В теории НМ имеется возможность применять различные операции объединения, пересечения и дополнения множеств в зависимости от контекста, ситуации управления. Основные бинарные операции над НМ, которым соответствуют лингвистические связки «и» и «или» сведены в табл. 1.1. Ряд исследований посвящен их экспериментальному и аксиоматическому обоснованию [22, 28, 61, 67]. В [22] показано, что для любых НМ из ^ (X) операторы F = шіп и G = шах являются единственно возможными операторами пересечения и объединения при выполнении следующих условий;

Г.   iib) = F(hs, Цл); G(ha, iis) = G(iib, (іл) (коммута

тивность) ;

2°. F(Va, /^(Ив, M-c)) = F(F([i^, (ів), (ic);

G((1b, (гс) ) = G(G([1a, iis), He) (ассоциативность);

3°.  G([Ia, Hs)^G(hc, Цп), если [іл <

< [Ic, [гв ^ (Id (монотонность);

4°. F((1a, (1a)<F((1b, Ив); С((1л, (гл)<С((ів, (гв), если (гл < (ів;

5°. F(l, 1)=1; G(0, 0) = 0;

6°. ^((гл, |Лв)^піт((гА, (гв); G(ha, |Хз)> max((^A, Цв)';

7°. F и G — непрерывные функции;

8°. ^(|Лл,    ]Xc)) = G{F{ha, (гв), ^((гл, (іс));

С(цл, f |lic)) = F(G(ha, (ів), G{ha, (гс)) (дистрибутивность) .

Позже в [34] было установлено, что для справедливости данного вывода вполне достаточно аксиом 2°, 3°, 4“, 6° и 8°. Этот же результат можно получить, оставляя лишь условия 3“ и 8“ д добавляя к ним условие ограниченности F((1a, 1) = F(1, Цд) = =■ (гл; G(0, цл)= ііл [20].

С другой стороны, ясно, что жесткие, поточечно однозначные операторы недостаточно полно отражают смысл многозначных лингвистических преобразований термов лингвистических пере- ліенных. Поэтому большой практический интерес представляет построение обобш;енных нечетких операторов, т. е. параметризованных операторов пересечения, объединения, дополнения и др., позволяющих учесть гибкость, изменение степени компенсации операндов и т. д. Весьма общий и изящный подход к целенаправленному формированию нечетких операторов пересечения и объединения заключается в их определении в классе треугольных норм и конорм [55, 20, 27, 29, 39, 57].