§ 10.3. Косвенные методы для одного эксперта

Т. JI. Саати [28] предлагает следующий способ вычисления функции принадлежности. В практике часто имеют место случаи, когда не существует элементарных измеримых свойств, признаков, через которые определяются интересующие нас понятия, вапример, красота, интеллектуальность. Трудно в таких случаях проранжировать степень проявления свойства у рассматриваемых элементов. Так как степени принадлежности рассматриваются на данном реальном множестве, а не в абсолютном смысле, то интенсивность принадлежности можно определить исходя из попарных сравнений рассматриваемых элементов. Если значения степени принадлежности были бы известны, например, — =Юі (і = 1, ..., п), то попарные сравнения можно представить матрицей отнощенихі А = ((а,-,)), ац = (Oi/cOj. Если отношения точны, то получается соотношение 4м = то, to = (cot, ..., со„), где п — собственное значение матрицы А, по которому можно восстановить вектор ю ^с учетом условия нормализации 2 ®г =

Так как отношения сравнения ац в реальном случае неточны из-за того, что они получены эмпирическим способом, то мы должны вычислить оценки для со. Для улучшения согласованности оценок предполагается, что афік = aih, ац = со/о);,-, откуда для диагональных элементов ац = 1 и для элементов, симметричных относительно диагонали ац = І/а^. Грубо говоря, если элемент оценивается в а раз сильнее, чем другой, то второй только в 1/а раз сильнее, чем первый. Если имеется полная согласованность в рассуждениях эксперта (согласованность по транзитивности), то ранг матрицы А есть 1, и чтобы решить поставленную задачу, достаточно знать элементы только по одну сторону диагонали А.

П

В этом случае 2 аі/<У®г = п (і = 1, ..., п), где п — наиболь-

3=1

шее собственное значение А, а другие собственные значения %. нулевые, так как 2 ~ 2 ап = п. В общем случае эмпирическая шкала со=(а>1, ..., со„) должна удовлетворять задаче на поиск собственного значения Аа—Хт^, где Ятах наибольшее собственное значение. Из теории матриц известно, что собственные значения матрицы являются непрерывными функциями коэффициентов. Следовательно, задача сводится к поиску вектора со, который удовлетворяет уравнению 4со = Яшах и. Чем ближе Ятах к чис

лу п, тем более верным является результат. Отклонение Кта от п используется как мера полезности (правильности) результата. В процедуре решения задачи формируется матрица сравнения рассматриваемого множества элементов. Элементы такой матрицы — это значения, показывающие во сколько раз один элемент лучше другого. Так как известно, что задача Л(о = ХтиЮ имеет единственное решение, то значения координат собственного вектора, соответствующего максимальному собственному значению, деленные на их сумму, будут искомыми степенями принадлежности. При формировании оценок попарных сравнений.

обычно, эксперта просят отразить ощущения или опыт следующим образом: а) установить какой из двух предлагаемых элементов, по его мнению, более важен; б) оценить восприятие интенсивности различия в виде ранга важности по определенной ранговой птале.

В табл. 10.1 приводятся качественные оценки и соответствующие им численные значения, используемые в [28].

Предполагается, что элемент с нулевой оценкой не рассматривается при попарном сравнении. При анализе сложных свойств,, которые представляются как иерархическая система, Саати предлагает в [30] использовать описанный подход при сравнениа составляющих свойств на удовлетворение (соответствие) сложному свойству.

Для иерархического случая доказана следующая теорема [29].

Теорема 10.1 (Саати). Пусть Я — полная иерархия с наибольшим элементом Ь (уровень 0) и ft уровнями. Пусть Вн — матрица приоритетов /г-го уровня к — і, ..., h. Если со' — вектор приоритетов р-го уровня по отношению к некоторому элементу Z в (р — 1)-уровне, тогда вектор приоритетов со q-vo уровня ІР < q) по отношению к z есть: ы = BgBq-i.. .Вд+іЫ'. Таким образом, вектор приоритетов низшего уровня по отношению к элементу Ь есть (х) = Ві... Bk(x)'.

В [24] предлагается метод наименьших квадратов для получения значений функции принадлежности по матрице бинарных отношений 4 =((a,j)) = (((0(/(0j)), т. е. искомые значения получаются при решении оптимизационно!! задачи: /=22(®ij®j — — (Oi)^->min, = 1, со,-> 0. Иллюстрируется близость оценок относительной степени принадлежности, полученных методами наименьших квадратов и поиска собственного вектора.

Скала [32] предлагает общий метод варьирования прототипов для получения численного значения функции принадлежности. Подход используется в [23] для распознавания образов. Пусть имеется прототип (или идеальный объект), описание которого- можно деформировать изменением параметров Рі, ..., Рп- Если дан некоторый объект (элемент), то, варьируя параметры, можн» добиться наибольшего соответствия прототипа и объекта. Вводится мера сходства между объектом и прототипом т (объект,. Ри . •р„)=11объект — прототип (рі, ..., р„)11.

Для улучшения измерения сходства объекта с разными прототипами вводится штрафная функция d. Например, один и тот же символ может быть близким как к прототипу А так и к прототипу Я:

Так как прототип полностью соответствует самому себе, то sim (прототип) = 0. Численные значения функции принадлежности вычисляются по формуле:

где максимум берется по всем возможным объектам.

В [4] предлагается процедура построения функции принадлежности, в которой используются парные сравнения объектов и до-

пускается матрица парных сравнений с неполной информацией (некоторые ее элементы отсутствуют). Рассматривается понятие «класс S», которое описывается функцией принадлежности на множестве объектов А = {а0, ..., а"-1}. В А имеется только два объекта а0 и а1, о которых можно сказать, что а1 — идеальный представитель тех объектов, которые принадлежат S, и что а0 — идеальный представитель тех объектов, которые не принадлежат понятию «класс S», т. е. ц8(а1) = 1, ц8(а°) = 0. Эксперту предлагается проранжировать степень различия объектов в каждой паре объектов в смысле принадлежности понятия классу S. В результате формируется матрица попарных сравнений, которая задает порядок пар объектов по степени различия в парах. Далее посредством методов неметрического шкалирования [12] вычисляются в факторном (метрическом) пространстве Хт координаты п точек {х{ = {х\, ..., хгт\, порядок расстояний d(x\ Xs) между которыми совпадает или максимально близок к порядку элементов матрицы попарных сравнений. Для полученных расстояний имеют место следующие утверждения: если объекты а’ и аj неразличимы, то da = 0, если степень различия объектов а', а1 больше чем степень различия объектов а\ а\ то йц > dik; если степень различия объектов а', а1 совпадает со степенью различия объектов а', ак, то dij di\.

Дальнейшие выводы основываются на следующих предположениях.

Пр едположение 10.1. Понятие S характеризуется несколькими одномерными признаками, которые определяются при помощи методов неметрического шкалирования.

Согласно предположению объекты формально описываются точками в пространстве признаков. Наличие нескольких признаков позволяет объяснить, например, нетранзитивноеть в парных сравнениях. Из процедуры получения формального описания объектов следует, что максимальное расстояние на множестве объектов будет между объектами а° и а\ так как их различие в смысле принадлежности понятию S будет максимально возможным. Следовательно, чем дальше объект а1 от объекта а1 в пространстве признаков, тем в меньшей степени он характеризуется принадлежностью к S.

Предположение 10.2. Степеь различия двух объектов а1 и а’ из А по отношению к понятию «класс S» пропорциональна разности расстояний в пространстве признаков от аг и а1 до объекта а1, которых! с максимально возможной степенью принадлежит S.

Из предположения следует, что степень различия двух объектов а} и а} по отношению к понятию S будет пропорциональна разности значений функций принадлежности на этих объектах, т. е. c\dl( — dyl = [ц8(а;)~ Hs(aj) I, где с — некоторая константа.

Если в качестве объекта а* рассматривать а“, затем а*, то будут иметь место следующие соотношения;

т. е. dn = 0.

Из этих уравнений следует, что

Таким образом, функция принадлежности на множестве объектов А, характеризующая понятие S, определяется по расстояниям в пространстве признаков Х"* согласно полученному соотношению.