1.5,1. Треугольные нормы. Треугольной нормой (сокращенно і-нормой) называется двухместная действительная функция Т! [О, 1]Х[0, 1]-»-[0, 1], удовлетворяющая следующим условиям:

1а) Т (О, 0) = 0; Т ([Ал» 1) = Т (1, (іл) = Ца (ограниченность);

2а) Т ([Ад, (гв) < Т (р-с, И-о)! если (іл ^ Ис Цв ^ |Яо (моно- тонност^;

За) Т ([гл, Цв) = Т ((ів> і^а) (коммутативность);

-4а) Т ([гл. Т (}ів, М'с)) = Т (Т ([іл, (гв), (гс) (ассоциативность).

Пара ([О, 1], Т) образует коммутативную полугруппу с единицей.

Треугольная норма Т является архимедовой, если она непрерывна и Т (j^A, < И-А для всех (гле^(-Х). Она называется строгой, если функция Т строго возрастает по обоим аргументам, т. е. в условии 2а) нестрогое неравенство обращается в строгое. Простыми случаями треугольных норм являются операции

Для этих t норм СПрЭВѲДЛИВО НѲрЭВѲНСТВО Tw)(|^At *Т*7п

JisX Тр (|Лл, Цв) < min (|Лл, Цв).

Архимедовы f-нормы (а, следовательно, взаимодействующие операции пересечения НМ) можно представить с помощью аддитивных генераторов — одноместных, непрерывных, монотонно убывающих функций /: [О,  Функция / определяется с

точностью до положительного множителя к. Тогда Т ((Хл, Цв) = = /"'Ч/(цл) + /Ы), где функция   называется псевдооб-

ратной /:

Аддитивный генератор любой строгой f-нормы имеет свойства /(0)=>+оо и /(1) = 0. В частности, f-норма Тт(Цл, Цв) порождается аддитивным генератором /т(м.)=1 —и-, а f-норма • р (Ца, М-в) — аддитивным генератором /р (ц) = —In ц. Полагая h = е~\ можно перейти к мультипликативному представлению строгих і-норм: Т (|Лд, цв) =(|Лл)-/г(Цв)), где h: [О, 1]-► ->[0, 1], причем /»(0) = 0; ft(l)=l. Такая функция h называется мультипликативным генератором.