1.5.2. Треугольные конормы. Функция X- [0> 1] ^ [0> 1] “*■

[О, 1] называется треугольной конормой (f-конормой), если:

16) 1 (1 1) = 1; 1 (О, ііа) = 1(Ца, 0) = Цл;

26) 1 (цл. Цв) > і (Цс, М, если Цл > Ис и Цв >

36) і (|Лл, Ы == 1 (|Лв, м-а);

Щ 1 (і^А, 1 (Цв. Цс)) = 1 (1 (Ца, Цв), Цс).

Треугольная конорма X является архимедовой, если она непрерывна и X (Цл* Цл) > Цл- Она называется строгой, если функция X строго убывает по обоим аргументам, т. е. в условии 26) нестрогое неравенство превращается в строгое.

Треугольные конормы есть класс функций, двойственных треугольным нормам. Любую f-конорму X можно получить из f-нор- мы Т путем преобразования X (М-А) Цв) =1 — Т (1 —Цл, 1 — Цв)* Простые случаи f-конорм — это операции

Для них справедливо неравенство Х« (і^а, М-в)^Хт (і^А) Цв)^Х? (М* Цв)>тах (цл.М-

Треугольные конормы также можно построить с помощью аддитивных генераторов — одноместных, непрерывных, монотонно возрастающих функций g: [О, 1] ^ Я'*'. Имеем J[ (цл, Цв) =

= /"'Ч?(И'а) + ^(Цв)), где

Генератор любой строгой f-конормы удовлетворяет свойствам ^г(1) = +оо и g(0) = 0. Примерами могут служить для

ХтСчл, М-в), а также gp(|x) = —1п(1 — ц) для Ір(Цл»М- В случае нестрогих норм и конорм аддитивные генераторы, обладающее свойствами /(0) = 1 и g(l)=l, называются нормированными.