1.5.3. Отрицания в теории нечетких множеств.

В теории НМ оператор Д0JII0лнeния не является единственным. Помимо общеизвестного ц{х)=1 — ц{х) ѴжеХ существует целый набор операторов отрицания (дополнений НМ) [14, 20, 35, 42, 57]. Наиболее общее определение функции отрицания в теории НМ с: [О, 1] [О, 1] предполагает, что выполняются по крайней мере два следующих свойства: 1) с(0)=1 и с(1) = 0; 2) с — невозрастающая функция, т. е. если Цл < Цв, то с(ц.л)^ с(ц,в). Если же, кроме того, с есть 2) строго убывающая и 3) непрерывная функция, то она называется строгим отрицанием. Функция с называется сильным отрицанием или инволюцией, если наряду с требованиями 1) и 2) для нее справедливо условие 4) с(с(|л)) = = ц. При с(с(ц))>ц отрицание называется слабым, а при с(с(ц))^ц — обычным. В [57] установлено, что для любого сильного отрицания существует генератор отрицания — монотонно возрастающая функция t: [О, 1]f(0) = 0 такая, что с(ц)=> = і"^(і(1)—і(ц)). Отметим, что функция kt {к>0 — постоянный множитель) также порождает отрицание с. Наприі^р, функция f(n)=n порождает классическое отрицание с(ц)=>ц.= = 1 — |л, функция fr (ц) = — квадратичное отрицание Сг ((і) =

У1 — а (ц) = Y ~ отрицание Сугено сх (ц) =

= / , —1<?1,<оо. Иногда практический интерес представ-

1 -і- Л}Д.

ляет дополнение порогового типа

Будем называть любое значение с, для которого с(ц)=ц, равновесной точкой е. Для любого непрерывного отрицания существует единственная равновесная точка е => (f(l)/2).

С помощью некоторого оператора отрицания можно расширенно определить понятие двойственности для нечетких опера-

торов. Два оператора Т и j_ называются с-двойственными, если для всех |лл, Цв е ^ (X) Цл 1 Цв = с~^ {с (Цл) Т (с (цв)) и, наоборот, На Т цв = с~^ (с (цл) I с (цв)).

И'А*

Например, операторы Т(ца, ^1~+ t*B ~ ~ t*B ^

=    j    —~ с-двоиственны относительно отрицания Ьугено.