1.5.4. Нечеткие операторы как параметризованные семейства функций.

 Изложенные выше понятия аддитивных генераторов архимедовых функций и с-двопственности треугольных норм и конорм служат основой для перехода к целенаправленному построению и исследованию обобщенных нечетких операторов. Неречислим наиболее интересные из них (двойственные операторы обозначаются *).

I. Семейства строгих (при    архимедо

вых f-норм и f-K о но р м Т = Яѵ, X = 134].

В частных случаях имеем:

Отметим, что Но> Ні> .. .> Ноо.

Для семейства конорм. получаем, в частности. Я* (wa, Цв) =

И'А + И^в —^  _

“ 1 —Ил-Цв ’  При =

= 2 конорма Ну обращается в оператор Лоренца Я* (цд, цв) =

^^A + Мв  /    ч    ,

“    ’ ™гда как Я+оо (ца, Цв) = ±s (Ца, Цв). Здесь Н^^

<Я*<Я*< ... <я1.

II. Семейства строгих і-норм и і-конорм Т = = -Dx; 1 = і?х(Я>0)[27].

При Я^оо получаем треугольную норму jD+o.(m-a, M-b) = = тіп(цл, м-в). Отметим, что lim ([х^, цв) = Z>i (Цл'Цв). Для

ѵ^о

двойственной jDx і-конормы Z)* имеем lim Я^([.і4, цв) = (ца,

VH.0

|лв), априЛ-^ооІ)+„„(|л^,|Лв) = тах(ц,А, Цв). Здесь ... < Z>oo, а > Z>* > .. .

in. Семейства операторов Сугено Т = j_ = = (см. [29]).

При увеличении параметра X оба семейства фупкциіі возрастают. Для Я, == — 15_і(ц,л, |хв) = Ти,(|хл, Цв), для К = О S^{\Ia,\Ib) = = max (О, |Ха + Цв — 1) = Tm (ца, Цв)- » ® случае 1= оо Sac (ц-л, Цв) = = Тр. Соответственно і (цл, ц-в) = Цл + Цв — Цл ■ Цв = 1р (цл, Цв), S*o (ца, Цв) = min(l, ца + Цв) = 1т(Цл, Цв)- ^ Цв) =

= J.s(Ha, Цв)- Свойство с-двойственности S^ и S^ выполняется

для ^а(ц)=т^-

IV.  Семейства і-норм и і-конорм Т = Yq, х =

Здесь Yg (цлі Цв) — Тю (цл? Цв)> Yх (цлі Цв) = Tjn (Ца? Цв)> (Цл, Цв)= min(ца, Цв), т. е. Уо ^ 1^1 ^ ^   5^0 (Цл, Цв)^= Is (М-А.

Цв), Y*i (Ца, Цв) = 1т (Цл, Цв), Y"L (цл, Цв) = тах(цл, Цв). Соответственно Уо ^ У* ^ . . . ^ У* .

V.   Семейства і-норм и і-конорм J = Ер, 1 = = £'р(ре^)[55].

Имеем

VI.  Семейства і-норм и і-конорм Т = Ср, J_— = с; (/?>!) [25].

При /? = 1 Сі(ц,А, |Лв) = Тт(ЦА, Мт а при /? = оо С+^(цд, цв) =

= Т„(ца, Ы-

VII. Семейства і-норм и і-конорм T = Fs, j_ = = F:(s>0)[30].

Данное семейство операторов является единственным, удовлетворяющим условию Т([Ха, Цв) + 1 (Ца, Цв) = Ца + Цв- В частных случаях Fg (ца, Цв) = min (цд, Цв), (цд, цв) = Цд • Цв= Тр (цд, цв),; F+CO (Цд, Цв) = Тт(Цд, Цв). ^

VIII.     Семейства операторов Т = DPg, X = DPg (О^ <S<1) [29].

Все эти варианты определения нечетких операторов можно обобщить, если рассмотреть их не в классе і-норм и і-конорм, а в классе бинарных операций на множестве действительных чисел 01, обладающих аналогичными свойствами.

Помимо нечетких операторов, входящих в класс f-норм и і-конорм, существуют операторы осреднения Ж-. [О, 1] X [О, 1]

[О, 1], удовлетворяющие основному требованию

Например, обобщенный оператор осреднения

дает

(среднее арифметическое),

(среднее гармоническое),

(среднее геометрическое).

В случае w —оо

а при W +00

Таким образом, к настоящему времени теория нечетких множеств располагает зпачительпым количеством гибких параметризованных операторов, позволяющих агрегировать нечеткую информацию с учетом изменчивости ситуационных данных.