§ 2.5. Транзитивное замыкание нечетких отношений

Большое значение в приложениях теории НО играют транзитивные отношения. Такие отношения обладают многими удобными свойствами и определяют некоторую правильную структуру множества X. Например, если отношение R в X характеризует сходство между объектами, то транзитивность такого отношения обеспечивает возможность разбиения множества X на непересекающиеся классы сходства. Если же отношению в X придается смысл «предпочтения», «доминирования», «подчиненности», то транзитивность такого отношения обеспечивает возможность естественного упорядочения объектов множества X, существования «наилучших», «педомИнируемых» объектов и т. н. Поэтому представляет большой интерес возможность преобразования исходного нетранзитивного отношения в транзитивное. Такое преобразование обеспечивает операция транзитивного замыкания НО, впервые рассмотренная в работах [48, 52].

Транзитивным замыканием отношения R называется отношение R, определяемое следующим образом;

где отношения определяются рекурсивно;

Теорема 2.2. Транзитивное замыкание R любого нечеткого отношения R транзитивно и является наименьшим транзитивным отношением, включающим R, т.. е. R^R, и для любого транзитивного отношения Т такого, что R^T следует R^T.

Как следствие из теоремы 2.2 получаем, что R транзитивно тогда и только тогда, когда R = R.

Если множество X содержит п элементов, то имеем;

В случае, когда R рефлексивно, имеем также:

откуда следует R =

Весьма полезным фактом является то, что а-уровень транзитивного замыкания нечеткого отношения R совпадает с транзитивным замыканием соответствующего а-уровня;

В (2.33) для простоты предполагается, что L линейно упорядочено, т. е. для любых X, у ^ L выполняется либо ж ^ г/, либо У<х.

Заметим, что при транзитивном замыкании НО в общем случае сохраняются лишь некоторые из свойств (2.13) —(2.24). Такими свойствами являются рефлексивность, симметричность, полнота ц транзитивность. Подробно свойства операции транзитивного замыкания рассматриваются в работах [37—38, 48, 52].