§ 2.8. Порядки и слабые порядки

Антисимметричное (2.20) нечеткое отношение Р называется отношением упорядочения или порядком. Мы здесь для определенности будем рассматривать лишь строгие, т. е. антирефлек- сивные (2.16), порядки. Свойства нестрогих (рефлексивных) порядков во многом совпадают со свойствами строгих порядков.

Различные порядки отличаются друг от друга требованиями, предъявляемыми к условию транзитивности. Как правило, эти требования выражают разумность, рациональность, согласованность отноіпения упорядочения, заданного в множестве X [2, 5,13, 18]. Слабейшее из этих требований — условие ацикличности отношения строгого порядка Р, и наиболее жесткие требования — это условие линеііной транзитивности и условие квазисе- ринности.

Если для отношений сходства условие транзитивности обычно записывается в виде S ° S, и различные способы определения операции композиции позволяют задавать разные типы транзитивности, причем оказывается, что таких типов существует не так уж и много, то для отношений порядка условие транзитивности НО удобно записывать в виде, аналогичном условию транзитивности обычных порядков:

где * — некоторая операция в L. Оказывается, что из множества всех отношений порядка можно выделить значительное количество отличающихся друг от друга классов порядков специального вида, определяемых как способом задания операции * в L, так и способом записи условия транзитивности, подобного условию (2.44). Ниже перечисляются некоторые условия транзитивности, определяющие эти классы печетких строгих порядков. Учитывая асимметричность отіюшения строгого порядка Р, будем писать Р{х, у)>^, если Р{у, ж)==0.

Ацикличность:

Слабая транзитивность:

Отрицательная транзитивность:

{■)-транзитивность (L = [О, 1]):

(Л)- транзитивность:

(1/2, +)-транзитивность (Ь = [0, М\):

Сильная транзитивность:

Сверхсилъпая транзитивность: условие (2.48) совместно с условием:

Метрическая транзитивность(L = [О, М\):

Квазисерийность:

Линейная транзитивность {L = [О, М]):

Ультраметрическая транзитивность:

В общем случае предполагается, что рассмотренные условия грапзитивности определены для линейно упорядоченного L, хотя некоторые условия могут быть обобщены и на случай, когда L является решеткой. Условия, при определении которых участвуют операции сложения и умножения, используются, когда L является интервалом веществепных чисел.

Рассматриваемые условия транзитивности могут использоваться как при построении моделей рациональности нечетких предпочтений в нормативной теории выбора [13], так и при формировании некоторой правильной структуры системы, информация о которой может быть представлена в виде нечеткого отношения порядка.

Условия ацикличности, слабой транзитивности и отрицательной транзитивности равносильны условию ацикличности, транзитивности и отрицательной транзитивности, соответственно, обыкновенного отношения Ро, определяемого следующим образом:

Аналогичные свойства могут быть определены как а-своііства для различных а-уровней (а е L) отношения Р.

В отличие от первых трех свойств остальные свойства более специфичны для НО и в большей мере учитывают согласованность силы отношения между элементами множества X. Для этих свойств также могут быть сформулированы а-свойства заменой в левых частях этих своііств на a^L.

Условие (2.47) для антисимметричных отношении порядка совпадает с (2.24). Условие (2.48) представляется наиболее естественным условием согласованности нри интернретацпи отношения порядка как отношения, учитывающего силу предпочтеішя в парных сравнениях альтернатив. Частным случаем сильного порядка (порядка, удовлетворяюіцего условию сильной транзитивности (2.48)) является метрический порядок (условие (2.49)). Условие (2.49) эквивалентно для асимметричных отношений неравенству треугольниі^а:

Условие (2.50) определяет нечеткую квазисерию. Каждый а-уровень нечеткой квазнсерни является обыкновенной квази- сериеіі, т. е. удовлетворяет условиям:

Поскольку обычная квазисерия определяет разбиение множества X на упорядоченные классы эквивалентности, нечеткая квазисерия определяет разбиеіше множества X на упорядоченные классы эквивалентности на каждом уровне а е L. Эти разбиения вложены друг в друга; таким образом, нечеткая квазисерия определяет иерархию разбиений множества X на упорядоченные классы эквивалентности (рис. 2.4). Исходная матрица отношения Р приведена в табл. 2.2.

Частным случаем метрических порядков, помимо квазисерии, является линейный порядок, определяемый условием (2.51). Линейный порядок при интерпретации Р{х, у) как силы предпочтения альтернативы х над альтернативой у задает на множестве

альтернатив X некоторую аддитивную функцию полезности [2], которая может быть определена на X, например, с помощью соотношения

Ультраметрическая транзитивность построена по аналогии с метрической транзитивностью (2.49), однако условие (2.52) не эквивалентно для антисимметричных отношений ультраметрическому неравенству:

Условие (2.54) эквивалентно для асимметричных отношений условию квазисе- рипности (2.50).

Между строгими порядками (асимметричными (2.21) отношениями) и слабыми порядками (рефлексивными (2.13) отношениями) существует тесная связь. Эти порядки могут быть получены друг из друга с помощью ряда преобразований.

Если на L задана операция дополнения, т. е. такая унарная операция ', что на L выполняются тождества

то на множестве НО может быть задана операция дополнепия, обозначаемая чертой сверху, с помощью соотношения

и на множестве НО ^(ХХХ) будут выполняться тождества

Дистрибутивная решетка, на которой задана операция дополнения, удовлетворяющая тождествам (2.55) и (2.56), называется решеткой Де Моргана.

Например, если L = [О, М\ то операция дополнения может быть определена как

При L ~ [О, 1] эта операция дополнения совпадает с операцией дополнения [52]. Если L является конечной цепью, т. е. элементы L могут быть линейно упорядочены:  .. .^іт, тогда операция дополнения ' па L может быть определена как

Если па ^ задана операция дополнения, то из отношения строгого порядка Р могут быть получены отношение сходства

отношение различия отнопіеіпіе слабого порядка

Отношение (2.59) удовлетворяет условию полноты (2.22):

Таким образом, если па X задано НО строгого порядка, то с его помощью могут быть построены па X нечеткие отноіпения сходства (различия) и слабого порядка. Транзитивность отношения Р определяет тот или иной уровень транзитивности отношений S и І?. В частности, если Р является нечеткой квазисерией, то определяемое им S является НО эквивалентности, а от-

ношение R будет нечетким квазипорядком, т. е. рефлексивным (2.13) и транзитивным (2.24).

Из (2.55) и (2.56) видно, что соотношение (2.59) может использоваться для получения из полного (2.60) отношения слабого порядка

отношения строгого порядка

отношения сходства отношения различия

Если отношение слабого порядка не является полным, то соотношение (2.62) также будет определять некоторое отношение сходства, однако (2.61) уже не будет определять строгого порядка. Такой порядок может быть получен из R при L = [О, М] с помощью соотношения

где операция \ определяется следующим образом [40, 19]:

В [40] показано, что при транзитивном (2.24) R соотношение (2.63) определяет транзитивное (2.47) Р.

Кроме рассмотренных типов НО порядка и слабого порядка, в теории принятия решений применяются следующие отношения предпочтения. При L==\Q, 1] отношение R называется (+)-полным, если

Для подобных отношений предпочтения, которые часто интерпретируются как вероятностные отношения предпочтения, рассматриваются [14] условия стохастической транзитпвности:

и сильной стохастической транзитивности:

Отношение строгого предпочтения, связанное с подобным отношением предпочтения, может быть определено следующим

образом:

Нетрудно обнаружить связь между условиями (2.64), (2.65) и условиями отрицательной и сильной транзитивности строгих порядков.

При L = [О, М] отношение R называется (•)-полным, если R(z, y)-R(y^ x)—i. Для подобных отношений предпочтение R{x, у) обычно интерпретируется как «во сколько раз х лучше, чем уь, и рассматривается обычно условие сверхтранзитивности [45] R{x, z) = R(x, у) ■ R(y, z), которое можно записать в виде:

Отношение строгого порядка, связанное с (■)-полными отношениями, можно определить такнш с помощью (2.66).

НО порядка могут быть получены многими способами и допускать различную интерпретацию. Р(х, у) и R(x, у) могут вы- раніать или значение какого-либо физического параметра, характеризующего интенсивность доминирования х над у или усредненную по множеству критериев или индивидуумов силу предпочтения между объектами. Они могут быть получены с помощью шкалы сравнений, в которой эксперты измеряют интенсивность предпочтений при попарных сравнениях альтернатив, могут выражать уверенность, возможность, вероятность доминирования и т. д. Заметим, что возможные интерпретации и способы получения рассмотренных отношений значительно шире тех, которые подразумеваются в названии «нечеткие отношения».