§ 2.9. Приложения теории нечетких отношений

к анализу систем

Рассмотрим некоторые приложения теории НО к кластерному анализу (автоматической классификации) и задачам принятия решений.

Применение теории НО в кластерном анализе впервые обсуждалось в работах [42, 43]. В [48] предлонсона процедура кластеризации, основанная на транзитивном замыкании исходного отношения сходства, получаемого в результате опроса экспертов. Эксперты в некоторой шкале сравнений указывали силу сходства между портретами людей, принадлежащих к нескольким семьям, и на основе попарного сравнения всех портретов строилась матрица сходства. Транзитивное замыкание этой матрицы давало НО эквивалентности. Далее выбирался порог (уровень) а таким образом, чтобы число классов разбиения, получаемое на а-уровне, равнялось числу семей. Процедура классификации относила портреты, попавшие в один класс разбиения, к одной семье. В проведенных экспериментах результаты классификации

дали хорошее согласование с истинным разбиением портретов по семьям.

Оказывается, рассмотренная выше процедура кластеризации, основанная на транзитивном замыкании отношения сходства, совпадает с хорошо известным алгоритмом кластеризации «ближайший сосед» [10, 33]. Многие иерархические алгоритмы кластеризации также могут быть легко и удобно проинтерпретированы на языке НО. Нечеткие отношения эквивалентности определяют па своих a-уровнях вложенную систему разбиений множества объектов X. Аналогичную систему разбиений строят и иерархические алгоритмы кластеризации, исходной информацией для которых служит обычно матрица сходства между объектами множества X [И]. Таким образом, иерархические алгоритмы кластеризации можно рассматривать как некоторые процедуры преобразования задапного отношения сходства в НО эквивалентности, а задачу иерархической кластеризации можно рассматривать как задачу поиска в определенном смысле оптимальной процедуры подобного преобразования. В такой постановке задача иерархической кластеризации рассматривалась в

[3], в которой была введена транзитивная окрестность заданного отношения сходства, содержащая оптимальные аппроксимации этого отношения транзитивными нечеткими отношениями. К аналогичной постановке задачи иерархической кластеризации могут быть приведены подходы к задаче кластерного анализа, основанные на понятиях «матрицы сходства», «матрицы, имеющей структуру дерева», «ультраметрики», «графов а-сходства» [11, 36]. Исследование этих подходов в рамках теории НО позволит, видимо, лучше попять их достоинства и недостатки и может способствовать развитию новых точек зрения на задачу кластеризации.

Различные подходы к задаче автоматической классификации, основанные па понятиях НМ и НО рассматриваются также в работах [12, 16, 23, 38, 41—44, 50, 51, 54]. В частности, в [51] рассматриваются методы кластеризации, основанные на НО сходства, которые обобщают многие известные методы, использующие графовый подход. В [26] рассматривается метод кластеризации, основанный иа разложении НО сходства пе на а-уровни, а на взвешенную сумму обычных отношений, в общем случае не вложенных друг в друга.

Асимметричные НО (отношения порядка) находят приложения к структурному анализу систем, принятию решений и т. д. [14—16, 19, 37—38, 40—41, 46, 49, 52]. НО порядка имеют преимущество перед обычными отношениями порядка, используемыми при построении моделей систем, так как позволяют учитывать интенсивность доминирования, предпочтения, подчиненности и т. п., которая в обыкновенных моделях не учитывается. Применение при попарном сравнении альтернатив шкал сравне-

ний, в которых эксперт может измерять интенсивность предпочтения, позволяет вводить в модели предпочтепий, основанные на теории НО, дополнительную информацию, что дает возможность более адекватно описывать предпочтения эксперта. В известных подходах к анализу предпочтений, учитывающих интенсивность предпочтений при парных сравнениях альтернатив, шкала сравнений, в которой измеряются эти интенсивности предпочтений, предполагается обычно либо шкалой интервалов, либо шкалой подобия (шкалой отношений) [18], что во многих нрак- тических ситуациях является обычно слишком сильным предпо- лоніением и не соответствует характеру предпочтений эксперта, производящего попарное сравнеіше альтернатив. Модели предпочтений, в которых попарное сравнение альтернатив производится в порядковой шкале, до настоящего времени исследовались лишь в терминах громоздкого аппарата четырехместных отноше- ігий [13]. Анализ таких моделей возлюжен в рамках теории НО, представляющей для этого более удобный язык.

Пусть X — множество альтернатив, Р: XXX L нечеткое асимметричное отношение предпочтения, L — шкала сравнений, в которой производится попарное сравнение альтернатив. Пусть L линейно упорядочено, О — наименьший, а I — ианбольшнй элементы L, и Р{х, у) интерпретируется как сила предпочтения альтернативы х альтернативе у (сила долшиировапня х над у). ГЗозліожиы и другие интерпретации величины Р{х, у) (вероятностная, возліожносхная, истинностная). Функцня

каждой альтернативе х^Х ставит в соответствие элемент шкалы Іх (х) е L, характеризующий максимальную силу, с которой альтернатива х доминируется альтернативами множества X [4, 5]. При /лг(а:) = 0 а: — абсолютно педомиппруема, при 1:х{х) =1 X — абсолютно домиішруема, при 0</^(a-)<I х — слабо доминируема. Функция доминируемости Іх линейно упорядочивает альтернативы множества X по силе доминируемости и может служить основой для выбора паилучших альтернатив из X. Вместо функции доминируемости удобно рассматривать двойственцую ей функцию педоминируемости

где ' — операция дополнепия в L. Если эта операция не может быть задана в L, то свойства функции педоминируемости могут быть получены из соответствующих свойств функции доминиру- омости двойственным образом. В частности, х абсолютно педоми- пируема, если піх{х) — I, и т. д. При L = [О, 1] функция недоми- ннруемости приводит к нечеткому множеству недомнннруеліых

альтернатив [19, 40]:

При L = (О, 1} отношение предпочтения Р будет обычным отношением, и функция педоминируемости будет определять множество максимальных элементов из X по этому отношению Р.

Следуя нормативной теории выбора [13], мошно рассмотреть связь мешду свойствами функции педоминируемости и различными моделями рациональности НО предпочтения с порядковой шкалой сравнений. Пусть Q означает универсальное множество альтернатив, на котором задано нечеткое отношение предпочтения Р, а X, У S Q — его конечные подмножества. Функция не- домипируемости НО строгого предпочтения Р обладает следз^о- щими свойствами:

при любом НО строгого предпочтения Р

при ацикличности Р

при слабой транзитивности Р

при отрицательной транзитивности Р  при (Д^-трапзитивности Р  пои сильной транзитивности Р

при сверхсильной транзитивности Р

при квазисерийпости Р

Некоторые из перечисленных свойств, а также ряд других свойств могут быть найдены в работах [3, 4, 5].

Рассмотренные свойства функции педоминируемости имеют тесную связь с известными аксиомами рациональности функций выбора, рассматриваемыми в теории принятия решений [1, 13]. Под функцией выбора понимается обычно функция С\ 2“ 2“ такая, что С{Х) ^ X, \/Х s Q. Эта функция С выбирает из множества альтернатив Х множество наилучших альтернатив С(Х). В отличие от рассматриваемой в теории принятия решений функции выбора С обсуждаемая здесь функция педоминируемости т линейно упорядочивает альтернативы по предпочтительности, предоставляя большую информацию об альтернативах. Задача выбора может решаться на основе функции недомипиру- емости, причем наилучшими альтернативами могут считаться как абсолютно недомипируемые альтернативы, так и слабо доминируемые альтернативы при отсутствии первых. Рассмотрение слабо доминируемых альтернатив — неплохих альтернатив — может производиться и при необходимости расширения множества выбираемых альтернатив. Заметим, что слабо доминируемые альтернативы появляются в функции педоминируемости, в отличие от обыкновенной функции выбора, в результате учета силы предпочтений в парных сравнениях. Слабо доминируемые альтернативы могут появиться как в результате расслоения множества наилучших альтернатив, задаваемых обыкновенной функцией выбора, которая определяется как множество максимальных элементов обычного отношения предпочтения, так и в результате перевода доминируемых альтернатив в слабо доминируемые. В любом случае учет силы предпочтепий в парных сравнениях позволяет проводить более тонкий анализ предпочтений эксперта.

Рассмотрим связь между перечисленными свойствами функции педоминируемости и свойствами обыкновенной функции выбора, лежащими в основе различного вида аксиом рациональности функций выбора '[1].

Условие (2.67) аналогично аксиоме согласия: из X, У s Q следует С(Х U У) Э С(Х) ПС(У). Из (2.67) следует условие

которое обобщает аксиому наследования: из X — У s Q следует С(Х) =С(У) ПХ.

Условия (2.69), (2.71) и (2.73) могут рассматриваться как аналоги аксиом незавнспмости от отбрасывания отвергнутых альтернатив: из X ^ У ^ Q, С(У) ПХ = 0 следует С(У\Х) = = С(У). Причем условие (2.69) учитывает лишь абсолютно не-

доминируемые альтернативы, условие (2.71) — слабо доминируемые, а условие (2.73) учитывает полную согласованность значений педоминируемости. Заметим, что во все эти условия может быть включено условие (2.77), которое выполняется для всех типов транзитивности.

Условия (2.70) и (2.76) можно рассліатривать как обобщение на абсолютно педоминируемые и слабо доминируемые альтернативы условия: из X ^ У ^ Q, C{Y)(]X¥=0 следует С(Х) = = С(У)ПХ, известного как аксиома копстаптности остаточного выбора. В усилешіом варианте ѴУ ^ й ѴХ S Y Ух, у ^ X:

іу) = 1^ тх (х) = ту (х) это условие выполняется для сильно транзитивных отношений, что следует из (2.72) и (2.77).

Условие (2.75) является аналогом аксиомы Эрроу и Узавы, интерпретируемой следующим образом: если х строго лучше, чем у, то у никогда не будет выбрано в присутствии х.

Важным условием является условие (2.72), выполняющееся для сильных порядков. Оно показывает, что выбор альтернатив производится в результате сравнения их с эталоном, что дает простой способ вычисления функции педоминируемости. Условие (2.74) характеризует равноценность объектов.

Условие (2.68) обеспечивает при ацикличности Р существование абсолютно недоминируемых альтернатив. Заметим, что условие ацикличности является обычно основным условием, выполнения которого требуют от рациональных обычных отношений предпочтения, так как это условие обеспечивает наличие наилучших альтернатив. Для НО предпочтения выбор альтернатив может осуществляться даже тогда, когда отношение предпочтения является в обычном сліысле отношением с циклами. В широком классе НО, содержащих циклы, выбор может осуществляться за счет слабо доминируемых альтернатив, т. е. таких альтернатив, для которых О < тх (х) < I. Для этого достаточно, чтобы Р было І-ацикличпо, т. е. удовлетворяло условию:

В этом случае функция педоминируемости удовлетворяет условию: mx{x)>Q. Таким образом, учет силы предпочтений в парных сравнениях альтернатив позволяет осуществлять выбор в ситуациях, в которых обычная теория выбора отказывается от принятия решения.

Заметим, что І-ацикличпость, гарантируя наличие слабо доминируемых или абсолютно педоминируемых альтернатив, не исключает ситуации, когда функция недоминируемости па всех альтернативах принимает одно п то же значение. Этого недостатка лишены функции недомиппруемости при слабой

ацикличности Р:

К последнему условию может быть также добавлено ослабленное условие полноты:

В заключение отметим, что рассмотренные здесь примеры не ограничивают круг возможных приложений теории нечетких (L-нечетких) отношений, которые будут обсуждаться также в следующих главах. Более того, здесь практически не исследовались свойства лингвистических отношений, принадлежащих к классу НО типа 2, т. е. таких НО, в которых веса из L являются лингвистическими переменными (нечеткими множествами). Подобные отношения играют важную роль при создании семиотических систем управления 120]. В этой главе исследовались лишь наиболее общие своііства этих отношений, определяемые частичной упорядоченностью их весов. Заметим, что НО, кроме приложения к анализу систем, нечетко определенных в том смысле, как это понимается в теории НМ, находят также приложения к анализу систем, в которых нечеткость как таковая может и отсутствовать. Кроме рассмотренных выше приложений к кластерному анализу и принятию решений, теория НО может найти приложения к структурному анализу систем, к теории сетей и т; д.