§ 3.3. Метрический подход к определению показателей размытости НМ

Показатель размытости нечетких множеств можно определить как меру отличия нечеткого множества от ближайшего к нему обычного неразмытого множества с помощью метрики, введенной в ^(Х) [33, 35J. Другой способ задания показателя размытости с помощью метрики — это определение его с помощью расстояния до максимального размытого множества М-ао_5(л:) = 0,5 ѴжеХ[1] и расстояния между нечетким множеством и его дополнением [1, 39]. Оказывается, эти подходы имеют много общего между собой, и определяемый с помощью метрики показатель размытости обладает многими свойствами, сформулированными в предыдущем разделе.

В [33] множеством, ближайшим к нечеткому множеству А, называется неразмытое множество А такое, что [гд (а:) = О при цл(а;) <0,5 и [Ад(а:)= 1 при |Лл(а:) >0,5. Показателем размытости называется функционал

который может быть представлен также в виде:

Если вместо расстояния Хэмминга в (3.9) использовать евклидово расстояние, то получим;

Показатели (3.9) и (3.10) имеют, соответственно, вид (3.2) и (3.7) и удовлетворяют соответствующим свойствам показателя размытости. В случае произвольно!! метрики функция d{A) = = р(Л, Л) удовлетворяет свойствам Р1, Р2', РЗ'.

Показатель размытости можно задать с помощью расстояния между нечетким множеством и его дополнением [1, 39]:

где U{x)=\    а р(Л, А) в случае метрики Хэмминга

имеет вид;

В общем случае такой показатель размытости удовлетворяет свойствам Р1', Р2, РЗ', Р4.

Показатель размытости можно задать функционалом [1, 2];

который удовлетворяет, в общем случае, лишь свойствам РІ', Р2 и РЗ'.

В общем случае различные показатели размытости, а также мощности НМ можно получить на базе метрики Минковского, заданной в классе нечетких множеств ^{Х). В [9] введено поіш- тие энтропии произвольной операции в ^{Х) как расстояния между результатом этой операции и максимально размытым НМ |Ла(.г)=0,5 Ѵх^Х. Предложен также показатель взаимной компенсации операндов в виде расстояния между результатом рассматриваемой операции и результатом операции пересечения Л (показатель рискованности решения).

Как видим, наиболее общими свойствами, которыми обладают показатели размытости при метрическом подходе для метрики произвольного вида, являются Р1', Р2', РЗ'. Свойства Р1 и Р2 в зависимости от определения показателя размытости не выполняются для метрики

Свойство Р4 выполняется для большинства известных метрик. А свойство Р5 выполняется для метрик, приводящих к аддитивной мере (3.1). В следующем разделе будет, в частности, показано, что между показателями размытости, удовлетворяющими условиям РЗ, Р4, Р7, и метриками определенного класса может быть установлено взаимно однозначное соответствие.