§ 3.4. Связь показателя размытости с алгебраическими свойствами решетки НМ

Существование показателя размытости НМ оказывается тесно связанным со свойствами алгебры НМ Заде. Для алгебры обычных множеств показатель размытости со свойствами РЗ, Р4, Р7 вырождается в тривиальный показатель, всюду равный пулю.

Для более общих алгебр такого показателя просто не существует. Первоначально укажем соотношения, существующие между произвольными положительными оценками (и определяемыми ими метриками) и показателями размытости, а затем установим связь между свойствами показателя размытости и свойствами алгебры НМ.

Положительной оценкой па решетке НМ ^ {X) называется функция ѵ: [X)     удовлетворяющая свойству

и условию

Положительная оценка ѵ определяет па (X) метрику [4];

Решетка ^(X) с положительной оценкой ѵ и метрикой (3.13) называется метрической решеткой НМ.

Метрика называется симметричной, если она удовлетворяет условию

Так как в алгебре нечетких множеств выполняются законы Де Моргана:

то из (3.11), (3.13) и (3.15) получаем, что метрика является симметричной тогда и только тогда, когда она определяется симметричной оценкой, т. е. такой оценкой, которая удовлетворяет условию

Теорема 3.1 [1, 2]. В метрической решетке печетких множеств функционалы

удовлетворяют свойствам РЗ, Р4, Р7. Они попарно тождественны тогда и только тогда, когда положительная оценка ѵ симметрична.

Приведем основные моменты доказательства теоремы. Условие РЗ следует из (3^12) и hj того факта, что А является заострением В, если А(\А^В(]В и В U В ^ А U А. Условие Р4 очевидно. Условие Р7 следует из (3.11) и из соотношения

которое выполняется для всех А, В^^{Х). Справедливость второй половины теоремы следует из того, что (3.19) является полу-

суммой (3.17) и_ (3.18), а (3.11) приводит к ѵ{АУ^ А)+ѵ{А[\ П,Л) = ѵ{А)+ ѵ{А).

Теорема 3.2 [1, 2]. Если р симметричная метрика, то функционал

удовлетворяет свойствам РЗ, Р4, Р7 и тождествен функционалам (3.17) —(3.19), причем для любого показателя размытости, введенного на ^{Х) и удовлетворяющего свойствам РЗ, Р4, Р7, существует единственная, согласованная с ним соотношением (3.21), симметричная метрика.

Справедливость первой половины теоремы следует из того, что любая оценка ѵ на ^(Х) представима в виде (3.1)

что совместно с (3.16) приводит к р(Л, А)=2р(А, Ло.а). Последнее соотношение совместно с (3.1-9) приводит к (3.21). Справедливость второй половины теоремы следует из того, что любой показатель размытости d, удовлетворяющий свойствам РЗ, Р4, Р7, можно представить в виде (3.2).Тогда оценка

где

является положительной, удовлетворяет условию (3.16) и определяет симметричную метрику, согласованную с показателем размытости d.

Примером симметричной оценки на решетке НМ может служить энергия нечеткого множества [13]

которая определяет симметричную метрику

и согласованную с ней меру энтропии:

Поскольку при доказательстве теоремы 3.1 используются лишь алгебраические свойства решетки нечетких множеств и, П, —), которая является нормальной алгеброй Де Моргана (алгеброй Клини), так как удовлетворяет тождествам (3.15) и (3.20), то эта теорема может быть обобщена на произвольные нормальные алгебры Де Моргана {Ьш, U, П, ~), т. е. дистрибутивные решетки Ьт, в которых выполняются законы Де Моргана (3.15) и условие нормальности (3.20). Более того, оказывается, что меры размытости могут быть определены на произвольной алгебре Де Моргана лишь в том случае, когда она является нормальной, т. е. когда в ней выполняется условие (3.20).

Сформулируем условия, аналогичные условиям РЗ, Р4, Р7, для произвольных алгебр Де Моргана Ьт, U, П, ~). Условие Р7 удобнее будет записать в виде Р5 и Р6 [3]:

Теорема 3.3. На метрической алгебре Де Моргана Ьт с положительной оценкой ѵ может быть задана функция d, удовлетворяющая условиям А1 — А4, тогда и только тогда, когда Ьт является нормальной алгеброй Де Моргана. Эта функция всюду на Ьш равна нулю тогда и только тогда, когда Ьт является булевой алгеброй. Функции (3.17) — (3.19), определенные на Ьт, удовлетворяют условиям А1 — А4. Они попарно тождественны тогда и только тогда, когда оценка ѵ симметрична. Оценка ѵ симметрична тогда и только тогда, когда определяемая ею метрика симметрична.

Теорема 3.2 выполняется в метрической алгебре Де Моргана Ьт лишь при некоторых дополнительных условиях на Ьт-

В [39] с помощью функционалов, аналогичных (3.17) — (3.19), вводятся показатели неопределенности на алгебре «стандартной логики неопределенности». Как следует из теоремы 3.3, алгебру такой логики можно задать в виде нормальной алгебры Де Моргана. Заметим, что показатель неопределеиности, определяемый условиями РЗ', Р4 и Р7, в частности, вида (3.8), можно задать на алгебре нечетких множеств с помощью изотопной оценки, определяемой условием: из А^В следует ѵ{А) < ѵ{В).

Для такого показателя неопределенности многие результаты этого раздела будут выполняться при замене в утверждениях положительной оценки на изотопную, метрики на псевдометрику и т. п.