§ 4.2. Нечеткие меры

Рассмотрим основные свойства печетких мер и интегралов, введенных в [27, 37], а также их содержательную связь с мерами возможности [41], используемыми в гл. 5, 6 для построения алгоритмов нечеткого вывода.

Пусть X — произвольное множество, а ^ — поле борелевских множеств (а-алгебра) для X.

Определение 4.1. Функция g‘(-)i определяемая в виде g:    1], называется нечеткой мерой*), если она удовлет

воряет следующим условиям [27, 30]:

1)g{0)-O,\

2)   ^ (X) = 1 1 (ограниченность);

3)   если А, В ^ ^ и Acz В, то ^(ЛХ§-(5) (монотонность);  ('*•1/

4)   если Рп^ ^ и {Fn} является монотонной последовательностью, то lira g{Fn) = ^Піга Fn\ (непрерывность).

n^OO Vw^OO )

Тройка (X, g) называется пространством с нечеткой мерой. Для нечеткой меры в общем случае не должно выполняться условие аддитивности: g{A U В)¥= g(A)+g(B). Таким образом, нечеткая мера является однопараметрическим расширением вероятностной меры.

Выражение g(A) представляет собой меру, характеризующую степень нечеткости А, т. е. оценку нечеткости суждения «X ^ А» или степень субъективной совместимости X с А. Нетрудно увидеть, что монотонность меры g влечет за собой

Для построения нечетких мер используется следующее К-пра- еило [27, 30]. Пусть А, В ^ А f\ В = 0. Тогда

g,[AUB)=g,{A)+g,{B)+K-g,{A) -g,(B), -1<?1<оо. (4.2)

В случае А U В = X будем называть выражение (4.2) условием нормировки для ^л-мер. Очевидно, что g-^(X)=l; gi(0)=O. Параметр ?і,е(—1, 4-оо) называется параметром нормировки g-j^-Mepbi. При > О, g-^(4 и 5)> g-^(il)+g-^(5) имеем класс су- пераддитивных мер, а при — 1 < < О, g-^(il U 5) < g-^(il) + ^гД5) получаем класс субаддитивных мер.

Легко убедиться, что если Л = X \ Л, А ^ то из (4.2) следует

1 + {АУ   (^-3)

Формула (4.3) определяет класс так называемых ^.^дополнений Сугено [30].

в общем случае, когда А ш В — произвольные непересекающиеся подмножества множества X, т. е. А, В ^ А Г\ В ¥= 0, выражение (4.2) приобретает вид

Если X = 52, то gji-Mepy можно получить с помощью непрерывной функции h, удовлетворяющей следующим свойствам:

1)   если ж <1/, 10 h[x)<h{y)-, X, у ^ Я.\

2)   Ит h(x)~0-, lira h{x =1.

Х~^—оо    сс^+00

Функция h аналогична функции распределения вероятности и называется нечеткой функцией распределения.

Таким образом, нечеткую меру gx на {Я, можно построить

в виде

Мера gi в (4.5) удовлетворяет ?и-правилу. В частности, g-x((—оо,а:]) =/г.(х) Ѵ^е(—1,-Ьоо).

(4.6)

Далее предположим, что К ~ = {«1, S2, ..Sn}. Мера gx на {К, 2’^) строится следующим образом (О ^

ге/):

Если К' с К, то

Выражение (4.8) также удовлетворяет ?и-правилу и из (4.7) следует, что

Рассмотрим несколько примеров нечетких мер (см. рис. 4.1).

Меры Дирака. Примитивный класс мер Дирака определяется соотношением

где Хо — заданный элемент в X. Меры Дирака — частный случай вероятностной меры, соответствующий детерминированной ситуации (меры полной уверенности). Все рассматриваемые далее нечеткие меры можно разделить на два класса: супераддитивные меры (Я>0) и субаддитивные меры (—1<Л<0).