4.2.2. Субаддитивные меры. Меры правдоподобия.

Мера правдоподобия множества А шз X определена в [10, 26] как

где Ъ — функция уверенности.

Мера правдоподобия удовлетворяет следующим аксиомам

Существует другой способ определения функции правдоподобия [10, 13]. Пусть те — мера, удовлетворяющая свойствам (4.13), тогда

является мерой правдоподобия. Меры правдоподобия называются также верхними вероятностями [12]. _

Пусть и V — две меры такие, что   ^і(Л)-Нѵ(Л) =

= 1. В этом случае р, является функцией доверия тогда и только тогда, когда ѵ — мера правдоподобия.

Мера возможности. Мерой возможности [41] называется функция П: ^-> [0, 1], удовлетворяющая следующим аксиомам:

Здесь N — множество натуральных чисел.

Мера возможности может быть построена с помощью распределения возможности п{х), являющегося функцией я: Z->• ->• [О, 1], такой, что sup я (ж) = 1 (условие нормировки). Не-

xsX

трудно увидеть, что ѴЛ е П (Л) = sup я (ж). Очевидно, что для

жеА

счетного множества я (а;) = П ({а;}).

Любая мера возможности является нечеткой мерой тогда и только тогда, когда существует функция распределения / такая, что sup / (ж) = 1.

XSX

Любая мера возможности П является ^;і-мерой —1, °°))

тогда и только тогда, когда П — мера Дирака.

Пусть [г и V две меры такие, что  ^і(Л)4-ѵ(Л) = 1.

Нечеткая мера р, является согласованной функцией доверия тогда и только тогда, когда ѵ является мерой возможности.

Содержательные аспекты теории возможности рассмотрены в работах [13, 20—21, 41].

Мера вероятности. Вероятностная мера (>і, = 0) является частным случаем функции доверпя или меры правдоподобия (см. рис. 4.1). Нечеткая мера g = P является вероятностной мерой тогда и только тогда, когда выполняются условия:

g^-мера. Нечеткая мера g = gv называется gv-мерой, если она удовлетворяет следующим аксиомам:

Нетрудно увидеть, что gv-мера является расширением меры Цукамото [37], для которой ѵ ^ [О, 1]. Очевидно, что при ѵ = О, ^ѵ-мера является мерой возможности, а при ѵ = 1 — вероятностной мерой. Если V > 1, то gv-мера описывает неопределенность, отличающуюся по своим свойствам от вероятности или возможности.

Условие нормировки для gv-меры в случае счетного множества X имеет вид

где gi g,{{xi}), VieN, Xi^X.

Если Z = 52, то нетрудно увидеть, что для нечеткой плотности /ѵ (а:): X [О, 1] можно получить

Утверждение 4.1. Пусть X — произвольное множество, Л с: Z, а g^\ SS ^ [О, 1] является |^ѵ-мерой. Тогда для Л = Z \ 4 мера нечеткости примет вид

Доказательство. Поскольку Ѵа, 6 е 5?: a\J Ъ = {а + 6)/2 + (а — Ь)/2, то условие нормировки для Л<=ХиЛ=Х\Л примет вид:

Если ^ѵ(Я), тогда g-v(l) = (1 — й'ѵ(Л) )/ѵ, а при

g^A) <g,{A), §-,ѵ(Л) = 1 - ѵ§-ѵ(Л). _Для случая v>l условие нормировки имеет силу, если §-ѵ(Л|= шах((1 — |Гѵ(Л))/ѵ, 1 —

—    vgv(A)), а для ѵ^[0, 1] §-ѵ(Л) = шіп((1 —|Гѵ(Л))/ѵ, 1 —

—    ѵ^ѵ(Л)).

Утверждение 4.2. Пусть X — произвольное множество, ^ — борелевская о-алгебра, gy-. ^ -*■ [О, 1] — нечеткая ^ѵ-мера.

Тогда ѴЛ, В ^ А f] В =/= 0,   где С = Л \ (Л П 5);

Доказательство. Условие нормировки для А, В ^ 3S относительно ^ѵ(Л) имеет вид

если gv{A\(AnB))>g^(A Г[.В), тогда \(Л П5)) = (§-,(Л) — — g,{A (] В))/V, а если §-ѵ(Л \(Л П5))< ^,(Л П 5), то ^ѵ(Л\(Ап Л5)) = ^ѵ(Л)-ѵ^ѵ(Л (IB).

Нетрудно увидеть, что если ѵ > 1, то

а нри V S [О, 1]

что доказывает утверждение.

Утверждения 4.1 и 4.2 справедливы только для конкретного разбиения множества на подмножества.