§ 4.4. Нечеткие интегралы

Определение 4.5. Нечеткий интеграл от функции h: X [О, 1] на множестве X по нечеткой мере g определяется как

где HoL — {x\h(x)'^ а} [27—30]. Нечеткий интеграл принято также называть нечетким ожиданием или FEV (fuzzy expected value) [17-19].

Пусть ^ {X) — множество нечетких подмножеств базового множества X. Поскольку понятие нечеткого подмножества включает в себя понятие обычного подмножества, то {X) является нечетким расширением ^(Х)^

Определение 4.6. Функция множества f, определяемая в виде

для А=:{{х, [^^(а;))}, ца^^{Х), называется расширением g на ^{Х).

Определение 4.7. Нечеткий интеграл от функции h: X-*■

[О, 1] на нечетком множестве \ха^ ^ {X) по нечеткой мере g определяется как

Для описания различных видов неопределеиности в теории нечетких мер используется общее понятие «степень нечеткости». В общем случае это понятие включает в себя «степень важности», «степень уверенности» и как отдельный случай «степень принадлежности» в теории НМ. Нечеткая мера, таким образом, может интерпретироваться различными способами в зависимости от конкретного применения. Пусть необходимо оценить степень принадлежности некоторого элемента х^Х множеству Е X. Очевидно, что для пустого множества эта степень принадлежности равна О, а для x^F {F Е) равна 1, т. е. степень принадлежности для x^F будет больше, чем для х^Е, если E<=^F. Если степень принадлежности Xq^E равна g(xo, Е), а вместо Е

задано нечеткое подмножество іЛде^(Х), то

Это говорит о том, что степень нечеткости суждения равна степени принадлежности нечеткому подмножеству Таким образом, понятие степени нечеткости в теории нечетких мер включает в себя понятие степени принадлежности теории НМ.

Отметим основные свойства нечетких интегралов (НИ) ]21— 30]. Пусть й е [О, 1], (£, F)sZ. Тогда, если h\ Z[О, 1], то:

Кроме того,

тогда и только тогда, когда g{A{\FM)> М > g{A[\FM+a), где Лг = {хіА ^ М) и /^м+о = {x\h> М).

Можно показать, что понятие НИ сходно с понятием интеграла Лебега. Для этого рассмотрим разбиение множества X на

П

пепересекающиеся подмножества Еі:Х=^ U Еі, Ei[\ Ej = 0, гФ],

г=1

п

і = 1„ ..., п. Пусть h{x)= 2 “i-Zsj(^)i где а, е [О, 1], Еі е

а — характеристическая функция обычного множества т. е. fE^{x) = l, если xesEi, и /вДх)= О, если хФЕ(. Пусть I есть мера Лебега. Интеграл Лебега от функции h по множеству А определяется как

где ie/ = {l, 2, ..w); a, < «2 < ... < a„. Предположим, что и i?i+, и.. .и i?„. Тогда, определяя h в виде h{x) = = max min («j,получаем следующее выражение

і=1,н

для НИ:

Оба интеграла — лебегов и нечеткий — можно сравнить, используя вероятностную меру. Если [X, Р) — вероятностное пространство, & h: X [О, 1] есть .^-измеримая функция, то согласно [27] имеем, что

В теории НИ имеет место следующая теорема.

Теорема 4.1 [27, 30]. Пусть (F, g^) и (Z, gx) — пространства с нечеткими мерами gr и gx соответственно; fe: Z X F ^ [О, 1], ж е Z, г/ е F. Тогда если g = gxX gr, то для Z = X X Y:

Данная теорема является аналогом теоремы Фубнни из тео- рші меры и называется теоремой Сугено — Фубинп.

Пусть ihj — монотонная последовательность .^-измеримых функций, тогда

Если hn — монотонно возрастающая (убывающая) последовательность .^-измеримых функций и {«„} — монотонно убывающая (возрастающая) последовательность вещественных чисел, то

На рис. 4.3 дан пример графической интерпретации НИ для Х==^, где S = } h{x)o g sup [а Д Я П 41;     =

^    а£[0,і]

= {x\h(x)> а); f{x) — нечеткая плотность.

Пусть ф: X Y, тогда борелевская а-алгебра  и нечет

кая мера индуцируются из Z в F. То есть F е тогда и только тогда, когда     g^'^^ (F) = g {(р~^ {F)).

Пространство с нечеткой мерой (У, g*’’) интерпретиру

ется следующим образом. Если Y связано с Z с помощью отображения ф, тогда нечеткая мера на F, с помощью которой измеряется степень нечеткости в Y, также связана с мерой нечеткости в X.

Пусть     ж F ^ Обозначим через р(£'|ф = г/) семей

ство всех функций, эквивалентных h{y) по отношению gi

g(E

F

Здесь р(-Іф = г/) называется условной нечеткой мерой при условии ц> = у [28].

Пусть F=Y, тогда g{E) =

= I р(£'| Ф =!/)'»

Y

Условная нечеткая мера обладает следующими свойствами:

1)   Для фиксированных Е е р{Е\(р = у) как функция

от у является .^''^’-измернмой.

2)   Для фиксироваппых у, р(-1ф = г/) является нечеткой мерой для {X, в смысле

Если два пространства с нечеткими мерамп (X, gx) и (У, ^Y, gr) связаны друг с другом, то отображение ф нельзя определить в общем случае. Далее условную нечеткую меру р(-1ф = г/) будем обозначать как рх(-1г/).

В этом случае будет справедливо Ял: (■) = -f Ра'(• 1 °

у

Если заданы нечеткие меры gx, рг(-|х), gr, то существует нечеткая условная мера р(-|г/) [28] такая, что

Данное уравнение соответствует байесовской формуле определения апостериорной вероятности в этом смысле рх(-|г/), которая называется апостериорной нечеткой мерой, э. gx — априорной нечеткой мерой [28, 30, 34].

В качестве примеров рассмотрим вычисления НИ для счетных множеств в случаях gx- и gv-мер.

Пример. Пусть задано пятиэлементное счетное множеств» Х = {Хі} г е {1,5} л/. Каждому элементу х,^Х соответствуют значения нечетких плотностей gi из табл. 4.1.

Согласно условию нормировки для ^л-меры получаем Я = 0,25. Значение НИ S = sup [а Д где

asE[o,i]

принимает величину S = 0,4379.

Для gv-меры пз условия нормировки можно получить

Нри этом для gv-меры S = 0,448.