§ 5.1. Свойства нечетких чисел

Существуют возможность построения математических моделей систем с использованием лингвистических переменных и обычных арифметических операций [27, 39]. Привлекательность такого подхода связана с возможностью использования традиционных методов теории управления для анализа нечетких систем. Математической основой для построения таких моделей является алгебра нечетких чисел.

Нечетким числом (НЧ) А называется нечеткое подмножество числовой оси имеющее функцию принадлежности Цл'. Я-*■

[О, 1], где й — множество действительных чисел, =

= {(х|р,: й[О, 1]} — множество всех нечетких подмножеств числовой оси.

Нечеткое число называется нормальным, если

Нечеткое число называется выпуклым, если 'і х, у, z ^ Я, х^у <^z,

Если |ІА^^(3?), то множество а-уровня нечеткого числа А определится как

Подмножество Sa^ Я называется носителем (суппортом) НЧ Л, если

Если А — выпуклое нормальное НЧ, то

где 6а(а) = (а), YA(a) = (“); здесь (а), (а) являются обратными функциями для возрастающей и убывающей частей (Хл(а:) соответственно.

Унимодальное НЧ А называется положительным, если Ѵже^А, X > О, и отрицательным, если Ѵже^А, ж < 0.

Выпуклое НЧ А называется нечетким нулем, если

Расширенная бинарная арифметическая операция, обозначаемая Т [39], для нечетких чисел (Хл, Цв, Ѵх, определяется следующим образом:

Согласно (5.7) арифметические операции расширенного сложения, вычитания, умножения и деления (®, Ѳ, ®, ©) над А, В, С, т. е. Ѵи-А. Цв,  можно интерпретировать как

Для расширенных операций шах и шіп выражение (5.7) примет вид:

Отношение порядка для нечетких чисел [39] имеет вид:

Отметим следующие свойства операций над нечеткими числами [16, 29]:

Если А есть положительное или отрицательное НЧ и если В, С — оба положительные или оба отрицательные НЧ, тогда

Операции max и min являются ассоциативными и коммутативными операциями. Закон Де Моргана для max и min имеет вид:

Дистрибутивность;

Поглощение:

При решении практических задач всегда удобнее пользоваться множествами а-уровня для реализации арифметических опе- рациіі над НЧ.

Можно доказать справедливость следующего утверждения. Утверждение 5.1. Если Ѵае[0, 1] операция ~ — является расширенной бинарноіі операцией и нормальные унимодальные нечеткие числа А, В, С: (Хл, (Хв, имеют носители такие, что Ѵж е 5^, ж >-О или Ѵже5л,а;<С0, то будет справедливо следующее:

где

Таким образом, выражения(5.8) —(5.13) для положительных НЧ примут вид:

При решении задач математического моделирования нечетких систем можно использовать нечеткие числа — -типа [27], которые предполагают более простую интерпретацию рас- пшренных бинарных операций. НЧ (L —і?)-типа может быть задано с помощью функции принадлежности (L —Д)-типа, удовлетворяющей свойствам

где L и R — невозрастающие функции на множестве неотрицательных действительных чисел.

Примерами (L — і?)-функций могут служить Ь{у)'— р^О,

Нечеткое унимодальное число А является НЧ (Z, —і?)-типа тогда и только тогда, когда

где а — среднее значение (мода) нечеткого числа, а а, Р — левый и правый коэффициенты нечеткости соответственно.

Таким образом, НЧ можно представить в виде тройки параметров А =(а, а, Р) (см. табл. 5.3).

Носителем НЧ называется интервал [Ит (.і^^а), Иш

a-»0_j_   а-»0-|-

Толерантное НЧ (L —і?)-типа определяется четверкой параметров А={аі, а%, а, Р), где йі и aj — границы интервала толерантности (табл. 5.3).

Рассмотрим операции с нечеткими числами (L —і?)-типа.

Если А = (а, а, Р), В = (Ь^ у, б), то операции над нечеткими числами (L —і?)-типа [28] как частный случай (5.32) — (5.37) примут вид

1.   Сложение НЧ:

2.   Вычитание НЧ: если —(а, а, Р)ьв = (—в, Р, а)м., то

3.   Умножение НЧ:

За) \/А, В таких, что Цл, (Хв^^(^‘^), а > О, Ь > О,

36) ѴА, В таких, что (Хл, (Хв ^ 5^(^), а < О, Ь > О,

Зв) ѴЛ, В: i_u, fis s   a < О, Ь < О,

4.   Обратное НЧ: VЛ: s а > О,

5.   Деление НЧ: ѴЛ, 5: уі^, \ів^ ^ {St), а>0, Ь>0,

Выражения (5.41) — (5.45) можно применять в случаях малых значений коэффициентов нечеткости а, р, б.

В качестве примера рассмотрим операцию расширенного сложения для нечетких чисел, имеюш;их функцию принадлежности вида (рис. 5.1)

Для Л ==(3, 0,5, 0,2); 5 = (4, 0,3, 0,2) можно получить, согласно (5.39), Сьв = Лів® Льв = (7, 0,8, 0,4). Функция принадлежности вычисляемого нечеткого числа (L —Л)-типа имеет вид;

Можно показать, что выражения (5.39) — (5.45) будут иметь силу для НМ, описываемых функциями принадлежности 5-типа, введенными в [5, 52].