5.5.7. Принцип двойственности в (L — Л)-аппроксимации.

Для осуществления (L — Л)-аппроксимации необходимо сделать переход к двойственной задаче, а затем, получив решение в терминах аргументов (L — Л)-функций, произвести обратный переход.

Возможность такого перехода базируется на следующем утверждении.

Утверждение 5.3. Пусть L(а:)—функция (L —Л)-типа, а: е 5?+; L“‘(г/)—обратная функция уе[0,  =

= {а:1 Ѵі/е £■ = ж)}, Е' = {г/1 уа: е ^ (L (а:) = г/)};тогда ди

стрибутивная структура = <£', Ѵ> Л) является антиизо- морфной структуре 2”^ = <5?', Д, \/>-

Доказательство утверждения базируется на свойстве антитон- пости отображения L.

Следствие 5.1. Для любой формулы S, образованной из элементов множества Е' и операций V, Д существует двойственная формула S*, образуемая из элементов множества М' и операций Д и V*

Применение (L — Л)-аппроксимации позволяет получить значительный выигрыш в случаях, когда L ^ R. Введем следующие обозначения для нечетких подмножеств А с    ^(X) (L — Л)-типа:

Операции с нечеткими подмножествами {L — Л)-типа на основании утверждения 5.3 и следствия 5.1 примут следующий вид. Пересечение: ^А, В, С с (Ха,

где

Объединение:

Декартово произведение: А с  D с (Хі,е^(7),

где (Хо(а:, г/)—функция принадлежности нечеткого отношения G, х^Х, y^Y, d{y) = {{d' — у)/£)Ѵ{{у — d")/d)\/ 0.

Основные сложности при реализации алгоритмов нечеткого вывода возникают при вычислении меры сходства значений лингвистических переменных. Применение (L — Л)-аппроксимации дает возможность получения аналитического решения при нахождении возможностной меры сходства. При этом справедливо следующее утверждение.

Утверждение 5.4. Пусть а, Ъ ^ U; U — множество значений ЛП, которому соответствует множество нечетких подмножеств (L —Л)-типа ^{Х), ЬйгЯ; а~^А, Ь^В, (Ха, ^ е (X); тогда мера возможности того, что понятие «а есть Ы определяется из условия

где а', а", Ъ', Ь", а, а, Ь, Ь — параметры функций принадлежности (L — Л)-типа (5.65) — (5.67) нечетких подмножеств А ш В.

Доказательство. Пусть а" <Ъ", тогда L(a(x)) = = L(a" (х)) ш Ь{Ь(х)) = L(b'(х)). Поскольку

то

При этом

Если Ь"<а', то /-(Ь" (а:*)) = L(a'(ж*)) =Poss(alb); при этом ^ аЬ"+ Ьа’

X* =      , а Foss (а I Ь) = L (  г-|.

Ъ + а '   ^ ^  а-ЬЬ }

Поскольку при [а', а”] Д [Ъ', Ъ"] ф 0 имеем

то