§ 5.8. Обратная задача для нечетких отношений

В ряде важных для практики случаев моделирования нечетких систем возникает необходимость определения входных ЛП по заданным выходным при наличии схемы нечетких рассуждений. К таким задачам относятся задачи определения чувства-

тельности нечетких систем к изменению входных ЛП; задачи оптимального управления нечеткой системой при заданном нечетком целевом множестве, характеризующем критерий качества системы, и нечетких ограничениях на параметры системы, а также ряд задач диагностики нечетких систем.

Здесь мы рассмотрим два подхода к решению задач для нечетких отношений — с применением а- и ^-композиции и с применением со- и со-композиции. Напомним понятие «-композиции.

Пусть Q^^iXXY) и Л е ^(У XZ)—два нечетких отношения, обозначает множество нечетких отношений для X X У и YX Z соответственно. Мы определим композицию нечетких отношений Т = R •= Q, Т ^ ST {XX Z) так, что функция принадлежности для Т примет вид

где а;еХ, уеУ, zeZ, figt X X У ^ [О, 1]; Цн; У X Z[О, 1]— соответствующие функции принадлежности.

Пусть Q^^(XXY), Rs^(YXZ) — два нечетких отношения, тогда а-композиция Т = QdR, Т ^ ST {XX Z) нечетких отношений Q ж R определяется с помощью функции принадлежности

где Ѵа, Ь е [О, 1], операция а определяется как

Отметим, что если а, [О, 1], с = ааЪ является наибольшим элементом в [О, 1] таким, что а/\с^Ь, то справедливо неравенство а/\{ааЬ)^Ь.

Если а,Ъ,й^ [О, 1], то легко проверить, что аа{Ъf\d)'^aad и аа{Ь\/ d)> ааЪ, а также аа{а/\Ь)'^Ь.

Используя данные соотношения, можно доказать следующие свойства нечетких отношений:

В работе [44] показано, что обратное решение задачи для нечетких отношений базируется на двух теоремах.

Теорема 5.4. Пусть (?е^(ХХУ), T^^{XXZ) — нечеткие отношения; тогда, если с: ^(Y X Z)—множество нечетких отношений Rs^' ^аких, что R°Q = T, то 9^' Ф 0 тогда и

только тогда, когда R = Q~'a,T е является наибольшим элементом 9".

Теорема 5.5. Пусть Ге^(ХХ2) и Де^(УХ2)-не- четкие отношения; тогда, если cz ^(ХХ Y) — множество нечетких отношений таких, что R ° Q = Т, то 9" Ф 0 тогда и только тогда, когда Q = {RaT~')~^ ^9", Q является наибольшим элементом

Если композиция нечетких отношений определяется через минимакс, то рассмотренные теоремы могут быть заменены двойственными.

Пусть Q ^ {XXY), R^9'{YXZ)— нечеткие отношения; тогда ѵ-композиция, двойственная а-композиции, Т = QvR, T^9~{XXZ), нечетких отношений Q ш R, определяется с помощью функции принадлежности

где \/а, Ъ е [О, 1] операция ѵ определяется как

Обозначим: * — минимаксная композиция, двойственная “-композиции. Двойственные теоремы для «-композиции можно сформулировать следующим образом.

Теорема 5.6. Пусть Q ж Т — нечеткие отношения; тогда, если 9"' CZ ^(У X Z)— множество нечетких отішшений R ^ таких, что R* Q = Т, то 9" Ф 0 тогда и только тогда, когда й = (ЛѵГ”*)"*; R^&^' является наименьшим элементом 9".

Теорема 5.7. Пусть T^9^{XXZ) и Ле^(УХ2)-не- четкие отношения; тогда, если с: ^ (X X У)—множество нечетких отношений таких, что R* Q = Т, то 9~' Ф 0 тогда и только тогда, когда Q = {RvT~')~' ^ ЗГ; Q является наименьшим элементом ЗГ'.

Из теорем 5.4, 5.5 видно, что а-композиция позволяет определить верхнюю границу подмножества решений обратной задачи для нечетких отношений. Нижняя граница решений определяется с помощью ѵ-композиции.

Пусть Q ^ {XX Y), R^9~{YXZ)— нечеткие отношения; тогда ,3-КОМПОЗИЦИЯ Т = Q^R, Ts9'(XXZ) нечетких отношений Q ж R определяется через функцию принадлежности

где Ѵа, be [О, 1]; операция р определяется как

Нижняя граница 9^' может быть приближенно найдена из условия

Рассмотрим еще один подход к решению обратных задач для нечетких отношений [48].             

Пусть Х = т)}-, y = {t/j|/e{l, п}} — счетные мно

жества; ац, Гу, Ьі — степени принадлежности элементов НМ А, В и нечеткого отношения R. Композиционное правило вывода имеет вид

Введем понятие со- и со-композицип.

Пусть р, [О, 1]; тогда со-композиция определяется соотношением

а со-композиция — из условия  Пусть Uij =  Ѵц = Гц(і)Ьі, а

Тогда функция принадлежности нечеткого подмножества а будет Ѵг е {1, п} лежать в интервале а, который определяется из условия

где

Нетрудно показать, что Ѵге{1, п}, аі^аі. Кроме того, верхняя II нижня^ іраницы а совпадают с верхней и нижней

границами а и а, вычисляемых с помощью а- п р-композпций:

Применение со- и со-композиции удобно в случаях, когда нечеткое отношение R имеет малую размерность. В схеме нечетких рассуждений удобнее применять а- и р-композпцип, позволяющие

оперировать не нечеткими матрицами, а векторами значений функций принадлежности.

Приліенение а- и р-композиции рассмотрим на следующем примере. Пусть задана схема нечетких рассуждений, аналогичная (5.53):

где a,j е Aj — значения контролируемых ЛП, Ui е W — значения управляемых ЛП, Ь, — значения выходных ЛП. Пусть также множество значений управляемых ЛП определено на базовом множестве Z. Значениям ЛП а^, Ъі, Ui соответствуют нечеткие под.множества

е ЗГ (Xj), (Хв. е ЗГ (Г), Ни. е ЗГ (Z) іі„,: Z [О, 1].

Данная схема нечетких рассуждений может соответствовать, например, нечеткому описанию процесса лечения больного. При этом Ui — нечеткие подмножества, элементами которых являются виды терапии. Ац — параметры, характеризующие состояние больного, Ві — нечеткие интегральные оценки состояния больного — критерий качества болезни. В качестве такого критерия могут использоваться как объективные показатели, так и субъективные — типа оценок самочувствия. Пусть больного необходимо перевести в новое состояние В' — желаемое значение нечеткого критерия. При этом необходимо определить, к какому виду терапии наиболее чувствителен больной. Степень нечувствительности больного в данном случае будет оцениваться разницей меж-

ду верхней и и нижней и границами множества нечетких под- множеств 9~' CZ (Z), являющегося решением обратной задачи в соответствии с нечеткой информацией, содержащейся в схеме нечетких рассуждений. Следует отметить, что на управляемые ЛП может быть наложено нечеткое ограничение ц> ^ 9" (Z). Колі- позиционное правило вывода для данного случая примет вид:

где и' (Z), С,- е ^ (Xj) — нечеткие подмножества, соответствующие новым значениям ЛП и' и Cj е Aj. Используя основные свойства нечетких множеств можно показать, что

где

Нечеткие подмножества и ш и могут быть определены в данном случае с помощью со- и со-композицип, однако для этого необходимо определять нечеткое отношение R. Рассмотрим метод

вычисления и ш и с помош,ью а- и ^-композиций.

Из теоремы 5.5 имеем

и поскольку то

Если V г е /, Bt^Y являются детерминированными значениями или одноэлементными множествами, имеющими функцию принадлежности, равную 1, то

Рассмотренные методы решения обратной задачи с помощью а- и ^-композиции могут применяться при анализе чувствительности логико-лингвистических моделей. Решение обратной задачи для нечетких отношений с применением (L — Л)-аппроксимации основано на утверждениях об антиизоморфности псевдобуле- вых структур [10].

Утверждение 5.7. Пусть L(х) — функция (L —Л)-типа, Ь~'(у) — обратная функция г/е [О, І]^Е\

тогда псевдобулева стр^^ктура     V’ Л.“> является анти-

изоморфной структуре S’v = <52', /\, \/ ,ѵ}. Операция ѵ является двойственной а.

Утверждение 5.8. Пусть L(х) — функция (L —Л)-типа, X е Л+; L-* {у) — обратная функция у е [О, 1] ^ Е\

тогда псевдобулева структура \/> Р> антиизоморфна

структуре 5^7 = <Л', Л’ Ѵ> Y>- Операция ^ является двойственной При этом если V    тогда Ѵа, fe е

vsgi+

Доказательство утверждения основывается на антитонности отображения L и двойственности операций ѵ и а, р и Y-

Решение обратной задачи для нечетких отношений с применением (L — Л)-аппроксимации основано на утверждениях о двойственности псевдобулевых структур.

Пусть u{z)^[u{z), w(z)] — выражение для аргумента нечеткого подмножества \іи'е (Z); u{z), u(z)—выражения для его верхней и нижней границ соответственно, ф(г)—выражения для аргумента (L — Л)-функции нечеткого подмножества ф. Все остальные обозначения — такие же, как в (5.65) — (5.67).

В этом случае можно доказать, что

где

Функции принадлежности для и и и примут вид

Описанные в данной главе модели в настоящее время реализованы в виде пакета подпрограмм FLMS на фортране ЕС ЭВМ.

Пакет содержит подпрограммы ввода—вывода, подпрограмліы всех видов композиций для счетных множеств, подпрограммы (L — Л)-аппроксимации, интерпретации, подпрограммы идентификации нечетких мер и вычисление НИ, подпрограммы вычисления энтропий и подпрограммы вычисления мер возможности. Пакет применялся для решения ряда задач математического моделирования биологических и экономических систем. В качестве примера приведем результаты решения двух задач.

В первой задаче необходимо было осуществить прогноз уровня pH при моделировании сердечной патологии. Для моделирования были использованы данные из [13], которые подлежали нечеткому представлению в виде НЧ (L —Л)-типа. Результаты оценивались по величине средней ошибки ретроспективных прогнозов. Величина о оказалась наименьшей для модели с комбинированной интерпретацией (о = 0,532) для вероятностной интерпретации получено о = 0,651, а для минимаксной о == 0,81. Следует отметить, что ошибка для метода группового учета аргумента при решении данной задачи составляет о = 0,5.

Решение ряда аналогичных задач показывает, что лингвистические модели могут конкурировать с регрессионными моделями по точности и вычислительной сложности. Они также свободны

от необходимости реализации сложных процедур псевдообращения.

Вторая задача связана с экспоненциальным прогнозированием цены на золото на лондонском рынке [55] (рис. 5.3). Применение логико-лингвистической модели с (L — Л)-нечеткими числами для прогнозирования с единичным шагом временного ряда,

содержащего 360 точек, позволило получить прогнозы со средпе- квадратичными ошибками 0,506 для модели с комбинированной интерпретацией, 0,574 — для модели с минимаксной интерпретацией. Результаты моделирования можно сравнить с результатами моделирования статистическими методами [55]. Для модели Брауна величина о составляет 0,501, для байесовской модели (наилучший вариант) — 0,577, для адаптивной авторегрессии — 0,509, для полиномиальных моделей — 0,512—0,760. Ряд примеров решения задач прогнозирования временных рядов показывает, что лингвистические модели могут с успехом применяться для моделирования временных рядов, особенно в тех случаях, когда существует нечеткая информация.