6.2.1.       Многозначные логики.

В зависимости от способов введения операций объединения и пересечения НМ существует три основных теории нечетких множеств (см. табл. 6.1). Если

(X)— множество нечетких подмножеств X с обычными максп- минными операциями объединения (U) и пересечения (П), то

(X), рассматриваемое как множество отображений из X в [0, 1], является дистрибутивной решеткой с псевдодополнением (8Г (X), U, П, ~) (следуя, в основном, обозначениям [15]). Можно взять в качестве объединения и пересечения вероятностные операторы (алгебраические операции в табл. 6.1). Относительно этих операторов и обычного псевдодополнения алгебра (#” (X), +, —) образует только недистрибутивную решетку с псевдодополнением. И, наконец, используя операторы ограниченной суммы (U)

и произведения (П) и обычное псевдодополнение, мы получим недистрибутивную решетку с дополнением   U, П, ").

Отметим, что Ѵ^, В {Х)\ А{\В^А-В^А[\В и Ли

и А + В^А и5.

Каждой пз этих теорий соответствует многозначная логика, связки для которой приведены в табл. 6.1, где Т(Р) = р и T(Q)=q.

Во всех трех случаях значения отрицания вычисляются по формуле Г(ПР) = 1 — Т (Р), значения импликации — по формуле Т(Р ^ Q) = Т{~~\Р\/Q), а значения эквивалентности — по формуле T{P<->Q) = T[{P-^Q)/\{Q-^P)].

Связки ех, I и і всегда выражаются как отрицания Л и V соответственно; тавтология и противоречие определены как

Т(Р) = Т{РѴ ~\Р), Т{ 'Р) = Т {Р /\~]Р). В более общем виде

В соответствии с операциями из теории нечетких множеств в и, П, ”) дизъюнкция и конъюнкция определяются как

и являются коммутативными, ассоциативными, идемпотентными и дистрибутивными относительно друг друга, но не удовлетворяют закону исключенного третьего в следующем смысле:

Для логики, связанной с U, П, —), операции опреде

ляются как

п являются коммутативными и ассоциативными, но не идемпо- тентными и не дистрибутивными друг относительно друга, хотя и удовлетворяют закону исключенного третьего.

В логике, связанной с (X), 4-, •, —)> которую часто называют вероятностной логикой, операции

являются коммутативными, ассоциативными, но не идемпотент- ны и не дистрибутивны относительно друг друга.

Альтернативный подход к описанному способу введения нечетких логик предлон?ен в [33], где понятие нечеткого множества основано на понятии нечеткой границы между классами. Связки НЕТ, ИЛИ, а также импликация и отрицание определяются в терминах вероятности неверной классификации при распознавании. Их обычные свойства при этом выполняются. Другие определения нечетких множеств могут быть сведены к этому случаю с помощью наложения соответствующих ограничений на функции распределения границ.

Алгебраические свойства нечетких логик, построенных на основе многозначных, были исследованы также в [9, 54, 56].