§ 1.1. Два основных подхода к формализации нечеткости

Теория нечетких множеств, развивающаяся после публикации в 1965 г. основополагающей работы Л. Заде [64], представляет собой обобщение и переосмысление важнейших направлений классической математики. У ее истоков лежат идеи и достижения многозначной логики (трехзначной логики Лукасевича, к- значной логики Поста), которая указала на возможности перехода от двух к произвольному числу значений истинности и поставила проблему оперирования понятиями с изменяющимся содержанием; теории вероятностей, которая, породив большое количество различных способов статистической обработки экспериментальных данных (например, гистограммы, функции распределения), открыла пути определения и интерпретации функции принадлежности; дискретной математики (теории матриц, теории графов, теории автоматов и т. д.), предложившей инструмент для построения моделей многомерных и многоуровневых систем, удобный при решении практических задач.

Дальнейшие шаги в этом направлении связываются с созданием строгих и гибких математических методов исследования нечетко определенных объектов. При этом нечеткость образов, представлений и понятий человека вводится в формальные модели различными способами.

Можно выделить следующие основные классификационные признаки способов формализации нечеткости:

1)   по виду представления нечеткой субъективной оценки какой-либо величины (нечеткого множества);

2)   по виду области значений функции принадлежности;

3)   по виду области определения функции принадлежности;

4)   по виду соответствия между областью определения и областью значений (однозначное, многозначное);

5)   по признаку однородности или неоднородности области значений функции принадлежности.

Первый подход к формализации нечеткости состоит в следующем. Нечеткое множество (НМ) в [64] образуется путем введения обобщенного понятия принадлежности, т. е. расширения двухэлементного множества значений характеристической «функции (0, 1} до континуума [0, 1]. Это означает, что переход

от полной принадлежности объекта классу к полной его непринадлежности происходит не скачком, а плавно, постепенно, причем принадлежность элемента множеству выражается числом из интервала [0, 1]. Нечеткое множество

определяется математически как совокупность упорядоченных пар, составленных из элементов х универсального множества*) X и соответствующих степеней принадлежности \іА (х) или (поскольку функция принадлежности является исчерпывающей характеристикой НМ) непосредственно в виде функции X-*- -*■ [0, 1]**). Возможные виды функций ]д,д изображены на рис. 1.1. Пример записи НМ:

или в обозначениях [64, 4, 5]: или

Понятие НМ тесно связано с центральным понятием так называемой альтернативной теории множеств [3] — понятием полу- множества. В то же время как множество предполагает наличие

определенных границ принадлежности и непринадлежности, по- лумножество является более широким понятием, не имеющим максимальных или минимальных элементов, а следовательно,

■фиксированных значений принадлежности. В альтернативной теории множеств четко разграничиваются понятия множества и класса. Множество — это совокупность четко различимых элементов, которые можно перечислить, представить в виде списка. Понятие класса является более общим, чем понятие множества. Свойство объектов (Л (х), рассматриваемое как объект, определяет класс {х, ц (ж)}. Полу множеством называется собственный класс (не множество), являющийся подклассом некоторого множества X: зФ = {х, (л(ж)} с X. Поскольку при определении полу- множества не используется отношение принадлежности между элементом и множеством, этот математический объект является более общим, чем НМ. Но для практических применений полу- множеств следует ввести функциональные ограничения на принадлежность и аппроксимировать полумножества нечеткими множествами. Способы приближения полумножеств нечеткими множествами описаны в [49—50].

Основные операции над НМ из класса всех НМ ЗГ(Х) = = {ц|ц,: X [0, 1]} универсального множества X представлены в табл. 1.1. Ниже приводятся наиболее важные понятия теории нечетких множеств.

Нормальность НМ. Нечеткое множество А нормально, если верхняя граница его функции принадлежности равна единице, т. е. sup jaa (х) = 1. При sup (ж) < 1 НМ называется субнор-

х^Х  х~Х

мальным. Нечеткое множество пусто, если ^ (#) = () ух^Х. Непустое субнормальное НМ можно привести к нормальному (нормализовать) по формуле

Множество уровня а ЕМ. Множеством уровня а (a-срезом) НМ А называется четкое подмножество универсального множества X, определяемое в виде

где ае[0, 1] (см. рис. 1.2). Например, для (1.2) и а = 0,6 множество уровня а имеет вид Аа = {х2, xs, xj. С другой стороны, Аа есть образ интервала [а, 1] при обратном отображении ц_1, т. е. Аа = ц 1([а, 1]). Множество строгого уровня определяется в виде

Например, для (1.2) и а = 0,6 множеством строгого уровня будет Аа = {х3,х4). в частности, носителем НМ А (обозначаемым

supp.4) является множество элементов х^Х, для которых Цл(а;)>0, т. е. supp^ = {жеХІ}гА(ж)>0}, Понятие множества уровня является расширением понятия интервала ixla^x^b) [19]. Оно представляет собой объединение не более чем счетного числа интервалов [2]. Соответственно, алгебра интервалов есть, частный случай алгебры множеств уровня.

Точка перехода НМ А — это такой элемент х^Х, для которого (іл(а;)=0,5.

Четкое множество, ближайшее к НМ, определяется как

Выпуклость НМ. Нечеткое множество А в пространстве Х = = называется выпуклым нечетким множеством тогда и только тогда, когда его функция принадлежности выпукла, т. е. для каждой пары точек х, у из X удовлетворяет неравенству

для всех X: О ^ 7, < 1.

Пример нечеткой функции — отображение ф: X-^Y, которое каждому х^Х ставит в соответствие г/s У со степенью щ(ж, у). Другие варианты — это функция с нечетким аргументом и функция с нечеткой областью определения. Нечеткая функция определяет нечеткую поверхность принадлежности в XX Y (X, У — произвольные множества) [18].

Принцип обобщения [4, 5, 7, 13]. Принцип обобщения как одна из основных идей теории НМ носит эвристический характер и позволяет расширить область определения исходного отображения ф на класс НМ, а также обобщить определения операций над НМ типа 1, на НМ типа 2 и выше*). Пусть ф; X-»-

У—заданное отображение, а Л — НМ в X. Тогда образ НМ А при отображении ф есть НМ в У с функцией принадлежности

где ф~‘(г/)= {а;еХІф(ж) = г/}. В случае нечеткого отображения ф*. X У имеем

•) Согласно [5] нечетким множеством типа п называется НМ, у которого значениями функции принадлежности является НМ типа п — 1. Например, НМ типа 1 есть ц; [О, 1], а НМ типа 2 можно определить как Ji: XX [О, 1]^[0, 1] ИТ. д.

отличие от булевой алгебры, где у^АаХ: А СІА = AUA==X,j3 ^(Х) законы исключенного третьего не выполняются: AflA¥=0, AUA¥=X. В [28] показано, что при построении операций объединения или пересечения в ^ (X) надо отбросить либо законы исключенного третьего, либо свойста дистрибутивности и идемпотентности. Вышеизложенный подход является наиболее распространенным при моделировании нечетких понятий.

Всякое НМ можно разложить по множествам уровня согласно теореме декомпозиции [7, 46, 47]:

где

Данное разложение лежит в основе второго способа формализации нечеткости, когда нечеткость выражается с помощью набора иерархически упорядоченных четких множеств.

Следовательно, для конечного числа п градаций рассматриваемого свойства п-нечеткое множество задается через п-ку обычных множеств F = (Мі, .,М„), где Мі^Х, і = 1, ..., п, и М,     [31]. Для бесконечного числа градаций имеем

бесконечное семейство множеств F = (Ма), а е [О, 1], т. е. отображения вида М: [О, 1]2^, где любому числу (индексу) •as [О, 1] ставится в соответствие четкое подмножество множества X [13, 46]. Тогда размытость моделируется отображениями М из класса

со свойствами

и соответствуюпщмн операциями над ними (табл. 1.1).

Связь между выделенными альтернативными способами формализации нечеткости устанавливается на основе теоремы представления, согласно которой классы ^{Х) и Ф([0, 1]) изоморфны относительно операций пересечения и объединения (табл. 1.1). При этом любой бинарной операции в 9^ (X) соответствует объединение пересечений различных срезов в Ф([0, 1]) [15]:

Задание вероятностной меры на Ш обусловливает переход к теории случайных множеств [12]. В особую группу мы выделяем

различные комбинированные подходы, учитывающие как нечеткость, так и стохастичность в системах управления и искусственного интеллекта. В частности, вероятностное нечеткое множество [36] определяется рандомизированноіі функцией принадлежности Цл: XX [О, 1]. Здесь принимается во внимание случайная погрешность при экспертном оценивании функции принадлежности (рис. 1.3). Этот подход, как и случайные нечеткие множества [8], применим в частности при групповом экспертном оценивании.

Наряду с выражением (1.11) имеются и другие варианты формализации нечеткости данных с помощью семейства обычных множеств, например приближенные множества (rough sets) [51]. Пусть X — множество, а R<=XXX — отношение эквивалентности на X. Упорядоченную пару Ч*' = <Х, Ю будем называть пространством приближений, а. R — отношением неразличимости в пространстве 'F. Классы эквивалентности по отношению R называются элементарными множествами в Ч*', а всякое объединение элементарных множеств образует составное множество в Ч*'.

Пусть Y <= X. Под нижним приближением множества Y в пространстве 'F будем понимать наибольшее составное множество в 'F, содержащееся в У, а под верхним приближением Y в 'F — наименьшее составное множество в 'F, содержащее Y, Обозначим нижнее и верхме приближения множества У в пространстве 'F через и ^F7 соответственно. Произвольные два множества Y, Z<= X приближенно (снизу) равны в Ч*' = <Х, R>, если WY=~^Z, и приближенно (сверху) равны в Ч*'= <Х, R>,

если WY = WZ. Обозначим приближенное равенство множеств снизу и сверху в 'F в форме Y Z и Y di.Z соответственно.

Два множества У, ZczX приближенно равны в Ч'’ = <Х, /?>, если они приближенно равны снизу и сверху, т. е. Y «Z, если

Y ^ Z и Y Z, Тогда понятие приближенного множества вво-

дится в виде семейства приближенно равных множеств в пространстве приближений. Соответственно, множество (’Р)У^ =

= {Z CZ Х \ Z :=:Y} называется нижним приближенным множе- чг

CJBOM, порожденным множеством Y в пространстве Ч*', множество

(¥) Y = {ZczX|Z=iy}— верхним приближенным множеством, чг

а {4)Y = {Z czX\Z fa Y) — приближенным множеством. Данные три типа приближенных множеств представляют собой семейства семейств обычных множеств.

В [52] предложено интересное обобщение пространства Ч*' и отношения неразличимости R. В НМ {(ж, ц(а:))} определяется нечеткая эквивалентность о. Вводится понятие совершенно нечеткого множества как тройки Л=(Х, ц, о), где ц: Z[О, 1J есть функция принадлежности, а о: Z X X [О, 1] — функция неразличимости.

Близким к идеям альтернативной теории множеств является недоопределенное множество, описываемое четверкой N =• = ~А, Л/і, М„У [И]. Здесь множества ‘‘‘Л и ~А суть конечные подмножества универсального множества X, причем есть множество элементов х^Х, которые точно принадлежат множеству (денотату) А, & ~А есть множество элементов х^Х, которые точно не принадлежат множеству А. Натуральные числа Л/* и Мп выражают соответственно верхнюю и нижнюю оценку мощности множества А. Это определение, моделирующее неполные сведения о конкретной совокупности А элементов некоторого универсума X, неявно задает трехзначную функцию принадлежности

Естественным обобщением N является переход к паре Л’== = <Иа, 1м-а1>, где Ца есть непрерывная функция принадлежности элементов х^Х множеству (денотату) А, а ІЦаі характеризует возможность для элементов натурального ряда быть значением мощности данного множества А.

Итак, краткий обзор ряда способов формализации нечеткости показывает, что в этом направлении развиваются два основных подхода. Первый базируется на обобщении понятия принадлежности элемента множеству, приводящему к размыванию границ множества, а в предельном случае, к появлению объекта с неопределенными границами — полумножества. Второй подход предполагает описание нечеткости с помощью иерархии — семейства упорядоченных четких множеств. Прослеживается взаимосвязь этих подходов, что указывает на существование глубокой внутренней связи проблем математической обработки нечеткой информации и построения моделей сложных, иерархических систем. Ниже в рамках первого подхода мы обсудим различные варианты задания области определения и области значений функции принадлежности НМ, а также соответствия меж-

ду ними. Возникающее при этом разнообразие видов НМ открывает широкие перспективы их применения в моделях управления и искусственного интеллекта.