6.4.1, Методы рассуждений на основе modus ponens.

В работах [17, 36, 40, 58—60] был предложен метод рассуждений, в котором посылки являются нечеткими понятиями. Общую схему этого так называемого условного нечеткого вывода запишем в следующем виде:

Антецедент: если х есть А, го у есть В

Сукцедент: х есть А'

где X ж у — имена объектов, А, А', В, В' — обозначения нечетких подмножеств областей рассуждения U, U, V ж V соответственно.

Пример такого типа вывода следующий:

Антецедент: если слива красная, то слива спелая

Сукцедент: эта слива очень красная

Следствие: эта слива очень спелая

Эта форма вывода может быть рассмотрена как обобщенный modus ponens, который сводится к modus ponens при А' = А и В' = В.

Возможна также следующая форма вывода, содержащая нечеткое условное высказывание

Антецедент: если х есть А, то у есть В

Сукцедент: у есть В'

Следствие: х есть А'

Этот вывод может быть рассмотрен, как обобщенный modus tollens, который сводится к обычному modus tollens при «В' = = не В» и «Л' = не А». Антецедент в виде «если х есть А, то у есть В» в выводе может представлять некоторое соответствие между А ж В. С приведенной точки зрения предложены следующие методы для представления этого условного предложения.

Пусть А ж В — нечеткие множества в U и V соответственно, представленные

и пусть X, и, П, Пи Ф—декартово произведение, объединение, пересечение, дополнение и ограниченная сумма для нечетких множеств соответственно. Перечислим нечеткие отношения на С/ X F, которые могут быть получены из нечеткого условного высказывания: «Если х есть А, то у есть В». Нечеткие отношения Вт и Ва былп предложены в [58], В^ в [36, 38] н В„ Bg, Bsg, Bgg, Rg и Rss — B [39, 41, 42]. Соответствующие выражения имеют вид

где

где

ѵ),

и, ѵ).

в [44] вводится ряд новых отношений для высказывания «Если X есть А, то у есть В» с помощью использования правил импликации для многозначных систем

где

где

где

где

где

В обобщенном modus ponens следствие В' в следствии может быть выведено из антецедента и сукцедента, используя maxmin композицию {°) нечеткого множества А' и нечеткого отношения, полученного в одном из правил. Например,

Аналогично

Точно так же в обобщенном правиле modus tollens следствие А' получается в результате max min композиции отношения и нечеткого множества В'-.

A'r, = RmoB' = [{А X Л) и (1 Л X t/)] о В\

X = о Л' = [(П л X F) ф (С/ X Л)] о В\

в [39, 41, 42, 44, 45] сравниваются методы нечетких рассуждений, использующие перечисленные типы нечетких отношений в правилах обобщенного modus ponens и modus tollens. При этом рассматриваются следствия, получаемые в расширенном modus ponens в результате применения к нечеткому множеству А нечеткого отношения:

Для расширенного modus tollens вычисляются значения следствий Ат, А'г, ... для композиции нечеткого множества В' и отношения для следующих значений В':

Следствия, полученные всеми методами нечеткого рассуждения, сведены в табл. 6.2 (обобшенный modus ponens) и табл. 6.3 (обобщенный modus tollens), где вместо Цв(у) и Цд(и) пишутся

Цв и |Хд.

Используя табл. 6.2 и 6.3, мы рассмотрим простой пример нечеткого рассуждения [44]. Отношения между А' в сукцеденте и В' в следствии в обобщенном modus ponens, совпадающие с нашей интуицией, представлены в виде нечеткого условного вывода в табл. 6.4. Аналогично, отношения между В' в сукцеденте в А' в следствии в обобщенном modus tollens, которым они должны удовлетворять, представлены в табл. 6.5.

Отношение I в табл. 6.4 соответствует modus ponens. Отношение П-2 имеет следствие, несколько отличное от отношения II-1, но в случае отсутствия сильной причинной связи между «х есть Л» и «у есть В» в высказывании «Если х еоть А, то у есть В» выполнение отношения П-2 допускается. В отношении ІѴ-1 содержится утверждение, что «Если х не есть Л, то из антецедента

нельзя получить никакой информации об г/». Выполнение отношения ІѴ-2 требует, чтобы нечеткое утверждение «Если х есть А, тогда у есть Ві> неявно подразумевало высказывание «Если х есть Л, тогда у есть Л, иначе у не есть В», и мы легко можем

представить себе реальную ситуацию, когда это отношение выполняется. Отношение V соответствует modus tollens и отношение ѴІІІ аналогично отношению IV. В табл. 6.6 удовлетворение (0) Или неудовлетворение (X) каждому критерию в табл. 6.4 и 6.5 для каждого метода проверялось с помощью использования значений следствия в табл. 6.2 и 6.3.

На основании табл. 6.6 делается вывод [39], [44], что методы Rm и Ra не подходят для нечеткого рассуждения ни в случае обобщенного modus ponens, ни в случае обобщенного modus tollens, так как они не удовлетворяют критериям, которые выглядят вполне разумными. R^ является неплохим методом, а Rg, R^ и и — вполне удовлетворительными. Новые методы Нь, ...

Л□,основанные на использовании импликаций многозначных логик, являются не очень хорошими.