6.4.2. Свойства нечеткой импликации.

В [10] рассматривается аксиоматический подход к импликации, которая определяется как нечеткое бинарное отношение на истинностном пространстве и является нечетким обобшением таблицы импликации для двухзначной логики. Вводятся следующие 4 аксиомы, постулирующие свойства импликации, отвечающие интуитивному представлению о природе нечеткого вывода.

Импликацией называется бинарное отношение на истинностном пространстве /^^([0, 1] X [О, 1]), определяющее свойство импликации Р Q между нечеткими высказываниями Р ж Q.

Аксиома 1. 1) Если значение функции истинности Р равно т т s 9~[0, 1], тогда истинностное значение вывода modus ponens, ое ^[0, 1], задается а = т » /.

2) Есяи значение функции истинности Q равно т т^^([0,1]), тогда истинностное значение вывода modus tollens задается Q = = 1 ° X, где “ обозначает max min композицию.

Аксиома 2. Истинность вывода должна быть не меньше истинности исходного утверждения, а именно

1)   для вывода modus ponens а = т» /,

2)   для вывода modus tollens Q = / ° т

Назовем истинностной любую функцию истинности, монотонно возрастающую до единицы и ложностной — любую функцию, монотонно убывающей от единичного значения, причем при всех значениях принадлежности больших нуля монотонность строгая.

Аксиома 3. Если функция принадлежности м-іСл» определяет отношение импликации /, то:

1)   для постоянного т] I должно являться истинностной функцией на X е [О, Г]] и

2)   для постоянного X I должно являться ложностной функцией на Т1 е [X, 1].

Аксиома 4. Отношение импликации должно быть симметрично относительно выводов modus ponens и modus tollens,

т. е.

Легко можно указать ряд классов импликаций, удовлетворяющих аксиомам 1—4: например, отношения импликации, основанные на правиле импликации Лукасевича, где

В частности, класс Si = {й^, где

к — любое действительное число большее О и класс Sr = где

где і — любое действительное число, большее 0.

Беря за основу отношениеможно

получить класс Ез = где

/ — любое конечное неотрицательное действительное число. Эти или другие возможные классы импликации выбираются, исходя из характера решаемой задачи.

Довольно большое число операторов импликации, основанных на многозначных логиках, рассматривается в [И]. С помощью операторов импликации вводится новый класс композиции отношений типа

где — оператор нечеткой импликации.

Меры близости между различными типами импликаций исследовались в [51].