§ 1.5. Нечеткие операторы

Важным вопросом использования НМ в моделях управления и искусственного интеллекта является построение соответствующих операторов агрегирования нечеткой информации и анализ их семантики. В теории НМ имеется возможность применять различные операции объединения, пересечения и дополнения множеств в зависимости от контекста, ситуации управления. Основные бинарные операции над НМ, которым соответствуют лингвистические связки «и» и «или» сведены в табл. 1.1. Ряд исследований посвящен их экспериментальному и аксиоматическому обоснованию [22, 28, 61, 67]. В [22] показано, что для любых НМ из ^ (X) операторы F = шіп и G = шах являются единственно возможными операторами пересечения и объединения при выполнении следующих условий;

Г.   iib) = F(hs, Цл); G(ha, iis) = G(iib, (іл) (коммута

тивность) ;

2°. F(Va, /^(Ив, M-c)) = F(F([i^, (ів), (ic);

G((1b, (гс) ) = G(G([1a, iis), He) (ассоциативность);

3°.  G([Ia, Hs)^G(hc, Цп), если [іл <

< [Ic, [гв ^ (Id (монотонность);

4°. F((1a, (1a)<F((1b, Ив); С((1л, (гл)<С((ів, (гв), если (гл < (ів;

5°. F(l, 1)=1; G(0, 0) = 0;

6°. ^((гл, |Лв)^піт((гА, (гв); G(ha, |Хз)> max((^A, Цв)';

7°. F и G — непрерывные функции;

8°. ^(|Лл,    ]Xc)) = G{F{ha, (гв), ^((гл, (іс));

С(цл, f |lic)) = F(G(ha, (ів), G{ha, (гс)) (дистрибутивность) .

Позже в [34] было установлено, что для справедливости данного вывода вполне достаточно аксиом 2°, 3°, 4“, 6° и 8°. Этот же результат можно получить, оставляя лишь условия 3“ и 8“ д добавляя к ним условие ограниченности F((1a, 1) = F(1, Цд) = =■ (гл; G(0, цл)= ііл [20].

С другой стороны, ясно, что жесткие, поточечно однозначные операторы недостаточно полно отражают смысл многозначных лингвистических преобразований термов лингвистических пере- ліенных. Поэтому большой практический интерес представляет построение обобш;енных нечетких операторов, т. е. параметризованных операторов пересечения, объединения, дополнения и др., позволяющих учесть гибкость, изменение степени компенсации операндов и т. д. Весьма общий и изящный подход к целенаправленному формированию нечетких операторов пересечения и объединения заключается в их определении в классе треугольных норм и конорм [55, 20, 27, 29, 39, 57].

1.5,1. Треугольные нормы. Треугольной нормой (сокращенно і-нормой) называется двухместная действительная функция Т! [О, 1]Х[0, 1]-»-[0, 1], удовлетворяющая следующим условиям:

1а) Т (О, 0) = 0; Т ([Ал» 1) = Т (1, (іл) = Ца (ограниченность);

2а) Т ([Ад, (гв) < Т (р-с, И-о)! если (іл ^ Ис Цв ^ |Яо (моно- тонност^;

За) Т ([гл, Цв) = Т ((ів> і^а) (коммутативность);

-4а) Т ([гл. Т (}ів, М'с)) = Т (Т ([іл, (гв), (гс) (ассоциативность).

Пара ([О, 1], Т) образует коммутативную полугруппу с единицей.

Треугольная норма Т является архимедовой, если она непрерывна и Т (j^A, < И-А для всех (гле^(-Х). Она называется строгой, если функция Т строго возрастает по обоим аргументам, т. е. в условии 2а) нестрогое неравенство обращается в строгое. Простыми случаями треугольных норм являются операции

Для этих t норм СПрЭВѲДЛИВО НѲрЭВѲНСТВО Tw)(|^At *Т*7п

JisX Тр (|Лл, Цв) < min (|Лл, Цв).

Архимедовы f-нормы (а, следовательно, взаимодействующие операции пересечения НМ) можно представить с помощью аддитивных генераторов — одноместных, непрерывных, монотонно убывающих функций /: [О,  Функция / определяется с

точностью до положительного множителя к. Тогда Т ((Хл, Цв) = = /"'Ч/(цл) + /Ы), где функция   называется псевдооб-

ратной /:

Аддитивный генератор любой строгой f-нормы имеет свойства /(0)=>+оо и /(1) = 0. В частности, f-норма Тт(Цл, Цв) порождается аддитивным генератором /т(м.)=1 —и-, а f-норма • р (Ца, М-в) — аддитивным генератором /р (ц) = —In ц. Полагая h = е~\ можно перейти к мультипликативному представлению строгих і-норм: Т (|Лд, цв) =(|Лл)-/г(Цв)), где h: [О, 1]-► ->[0, 1], причем /»(0) = 0; ft(l)=l. Такая функция h называется мультипликативным генератором.

1.5.2. Треугольные конормы. Функция X- [0> 1] ^ [0> 1] “*■

[О, 1] называется треугольной конормой (f-конормой), если:

16) 1 (1 1) = 1; 1 (О, ііа) = 1(Ца, 0) = Цл;

26) 1 (цл. Цв) > і (Цс, М, если Цл > Ис и Цв >

36) і (|Лл, Ы == 1 (|Лв, м-а);

Щ 1 (і^А, 1 (Цв. Цс)) = 1 (1 (Ца, Цв), Цс).

Треугольная конорма X является архимедовой, если она непрерывна и X (Цл* Цл) > Цл- Она называется строгой, если функция X строго убывает по обоим аргументам, т. е. в условии 26) нестрогое неравенство превращается в строгое.

Треугольные конормы есть класс функций, двойственных треугольным нормам. Любую f-конорму X можно получить из f-нор- мы Т путем преобразования X (М-А) Цв) =1 — Т (1 —Цл, 1 — Цв)* Простые случаи f-конорм — это операции

Для них справедливо неравенство Х« (і^а, М-в)^Хт (і^А) Цв)^Х? (М* Цв)>тах (цл.М-

Треугольные конормы также можно построить с помощью аддитивных генераторов — одноместных, непрерывных, монотонно возрастающих функций g: [О, 1] ^ Я'*'. Имеем J[ (цл, Цв) =

= /"'Ч?(И'а) + ^(Цв)), где

Генератор любой строгой f-конормы удовлетворяет свойствам ^г(1) = +оо и g(0) = 0. Примерами могут служить для

ХтСчл, М-в), а также gp(|x) = —1п(1 — ц) для Ір(Цл»М- В случае нестрогих норм и конорм аддитивные генераторы, обладающее свойствами /(0) = 1 и g(l)=l, называются нормированными.

1.5.3. Отрицания в теории нечетких множеств. В теории НМ оператор Д0JII0лнeния не является единственным. Помимо общеизвестного ц{х)=1 — ц{х) ѴжеХ существует целый набор операторов отрицания (дополнений НМ) [14, 20, 35, 42, 57]. Наиболее общее определение функции отрицания в теории НМ с: [О, 1] [О, 1] предполагает, что выполняются по крайней мере два следующих свойства: 1) с(0)=1 и с(1) = 0; 2) с — невозрастающая функция, т. е. если Цл < Цв, то с(ц.л)^ с(ц,в). Если же, кроме того, с есть 2) строго убывающая и 3) непрерывная функция, то она называется строгим отрицанием. Функция с называется сильным отрицанием или инволюцией, если наряду с требованиями 1) и 2) для нее справедливо условие 4) с(с(|л)) = = ц. При с(с(ц))>ц отрицание называется слабым, а при с(с(ц))^ц — обычным. В [57] установлено, что для любого сильного отрицания существует генератор отрицания — монотонно возрастающая функция t: [О, 1]f(0) = 0 такая, что с(ц)=> = і"^(і(1)—і(ц)). Отметим, что функция kt {к>0 — постоянный множитель) также порождает отрицание с. Наприі^р, функция f(n)=n порождает классическое отрицание с(ц)=>ц.= = 1 — |л, функция fr (ц) = — квадратичное отрицание Сг ((і) =

У1 — а (ц) = Y ~ отрицание Сугено сх (ц) =

= / , —1<?1,<оо. Иногда практический интерес представ-

1 -і- Л}Д.

ляет дополнение порогового типа

Будем называть любое значение с, для которого с(ц)=ц, равновесной точкой е. Для любого непрерывного отрицания существует единственная равновесная точка е => (f(l)/2).

С помощью некоторого оператора отрицания можно расширенно определить понятие двойственности для нечетких опера-

торов. Два оператора Т и j_ называются с-двойственными, если для всех |лл, Цв е ^ (X) Цл 1 Цв = с~^ {с (Цл) Т (с (цв)) и, наоборот, На Т цв = с~^ (с (цл) I с (цв)).

И'А*

Например, операторы Т(ца, ^1~+ t*B ~ ~ t*B ^

=    j    —~ с-двоиственны относительно отрицания Ьугено.

1.5.4. Нечеткие операторы как параметризованные семейства функций. Изложенные выше понятия аддитивных генераторов архимедовых функций и с-двопственности треугольных норм и конорм служат основой для перехода к целенаправленному построению и исследованию обобщенных нечетких операторов. Неречислим наиболее интересные из них (двойственные операторы обозначаются *).

I. Семейства строгих (при    архимедо

вых f-норм и f-K о но р м Т = Яѵ, X = 134].

В частных случаях имеем:

Отметим, что Но> Ні> .. .> Ноо.

Для семейства конорм. получаем, в частности. Я* (wa, Цв) =

И'А + И^в —^  _

“ 1 —Ил-Цв ’  При =

= 2 конорма Ну обращается в оператор Лоренца Я* (цд, цв) =

^^A + Мв  /    ч    ,

“    ’ ™гда как Я+оо (ца, Цв) = ±s (Ца, Цв). Здесь Н^^

<Я*<Я*< ... <я1.

II. Семейства строгих і-норм и і-конорм Т = = -Dx; 1 = і?х(Я>0)[27].

При Я^оо получаем треугольную норму jD+o.(m-a, M-b) = = тіп(цл, м-в). Отметим, что lim ([х^, цв) = Z>i (Цл'Цв). Для

ѵ^о

двойственной jDx і-конормы Z)* имеем lim Я^([.і4, цв) = (ца,

VH.0

|лв), априЛ-^ооІ)+„„(|л^,|Лв) = тах(ц,А, Цв). Здесь ... < Z>oo, а > Z>* > .. .

in. Семейства операторов Сугено Т = j_ = = (см. [29]).

При увеличении параметра X оба семейства фупкциіі возрастают. Для Я, == — 15_і(ц,л, |хв) = Ти,(|хл, Цв), для К = О S^{\Ia,\Ib) = = max (О, |Ха + Цв — 1) = Tm (ца, Цв)- » ® случае 1= оо Sac (ц-л, Цв) = = Тр. Соответственно і (цл, ц-в) = Цл + Цв — Цл ■ Цв = 1р (цл, Цв), S*o (ца, Цв) = min(l, ца + Цв) = 1т(Цл, Цв)- ^ Цв) =

= J.s(Ha, Цв)- Свойство с-двойственности S^ и S^ выполняется

для ^а(ц)=т^-

IV.  Семейства і-норм и і-конорм Т = Yq, х =

Здесь Yg (цлі Цв) — Тю (цл? Цв)> Yх (цлі Цв) = Tjn (Ца? Цв)> (Цл, Цв)= min(ца, Цв), т. е. Уо ^ 1^1 ^ ^   5^0 (Цл, Цв)^= Is (М-А.

Цв), Y*i (Ца, Цв) = 1т (Цл, Цв), Y"L (цл, Цв) = тах(цл, Цв). Соответственно Уо ^ У* ^ . . . ^ У* .

V.   Семейства і-норм и і-конорм J = Ер, 1 = = £'р(ре^)[55].

Имеем

VI.  Семейства і-норм и і-конорм Т = Ср, J_— = с; (/?>!) [25].

При /? = 1 Сі(ц,А, |Лв) = Тт(ЦА, Мт а при /? = оо С+^(цд, цв) =

= Т„(ца, Ы-

VII. Семейства і-норм и і-конорм T = Fs, j_ = = F:(s>0)[30].

Данное семейство операторов является единственным, удовлетворяющим условию Т([Ха, Цв) + 1 (Ца, Цв) = Ца + Цв- В частных случаях Fg (ца, Цв) = min (цд, Цв), (цд, цв) = Цд • Цв= Тр (цд, цв),; F+CO (Цд, Цв) = Тт(Цд, Цв). ^

VIII.     Семейства операторов Т = DPg, X = DPg (О^ <S<1) [29].

Все эти варианты определения нечетких операторов можно обобщить, если рассмотреть их не в классе і-норм и і-конорм, а в классе бинарных операций на множестве действительных чисел 01, обладающих аналогичными свойствами.

Помимо нечетких операторов, входящих в класс f-норм и і-конорм, существуют операторы осреднения Ж-. [О, 1] X [О, 1]

[О, 1], удовлетворяющие основному требованию

Например, обобщенный оператор осреднения

дает

(среднее арифметическое),

(среднее гармоническое),

(среднее геометрическое).

В случае w —оо

а при W +00

Таким образом, к настоящему времени теория нечетких множеств располагает зпачительпым количеством гибких параметризованных операторов, позволяющих агрегировать нечеткую информацию с учетом изменчивости ситуационных данных.