§ 2.1. Определение нечетких отношений

Нечеткие отношения (НО) играют фундаментальную роль в теории нечетких (размытых) систем. Аппарат теории НО используется при построении теории нечетких автоматов, при моделировании структуры сложных систем, при анализе процессов принятия решений, в задачах управления технологическими процессами и т. д.

Теория НО паходит также приложения в задачах, в которых традиционно применяется теория обычных (иеразмытых, четких) отношений. Как правило, аппарат теории четких отношений используется при качественном анализе взаимосвязей между объектами исследуемой системы, когда взаимосвязи посят дихотомический характер и могут быть проинтерпретированы в терминах «связь присутствует», «связь отсутствует», либо когда методы количественного анализа взаимосвязей по каким-либо причинам не- нримепимы, и взаимосвязи искусственно приводятся к дихотомическому виду. Например, когда величина связи между объектами принимает значения из ранговой шкалы, выбор порога на силу связи позволяет преобразовать связь к требуемому виду. Однако подобный подход, позволяя проводить качественный анализ систем, приводит к потере информации о силе связей между объектами, либо требует проведения вычислений при разных порогах на силу связей. Этого недостатка, как нам кажется, лишены методы анализа данных, основанные на теории НО, которые позволяют проводить качественный анализ систем с учетом различия в силе связей между объектами системы.

Обычное неразмытое и-арное отношение R определяется как подмножество декартового произведения п мнол<еств *)

Подобно нечеткому множеству, НО можно задать с помощью его функции припадле:кности

где L — это отрезок [О, 1] вещественной прямой [54]. Однако в

приложениях теории НО часто оказывается удобным в качестве L брать какую-либо более общую структуру, чем отрезок [О, 1], а под нечетким отношением R понимать саму функцию

отображающую декартовое произведение множеств Х,, ..., Х„ в L [31, 35, 38]. В качестве L может быть взято, например, множество веществепных чисел, множество лингвистических переменных, множество т-мерпых векторов, цепь, псевдобулева алгебра, полная дистрибутивная решетка и т. п. Такой подход к определению понятия НО дает возможность, во-первых, строить интересные обобщения понятия отношения, которые могут использоваться, например, в теории моделей [47]. Во-вторых, он позволяет в результате интерпретации различных функций со значениями из L как НО, применять для анализа свойств этих функций хорошо развитый аппарат теории отношений. В-третьих, этот подход дает возможность связать и рассматривать с единой точки зрения многие понятия и методы, применяющиеся при анализе эмпирических данных, в частности в кластерном анализе.

Мы ограничимся рассмотрением лишь бинарных НО.

Нечетким отношением R между множествами X и 7 будет называться функция

где в общем случае будет предполагаться, что L — это полная дистрибутивная решетка. Таким образом, L — это частично упорядоченное множество, в котором любое непустое подмножество имеет наибольшую нижнюю и наименьшую верхнюю грани, и операции пересечения Д и объединения V в L удовлетворяют

законам дистрибутивности [6]. Все операции над НО определяются с помощью этих операций из L. Например, если в качестве L взять ограниченное множество вещественных чисел, то операциями взятия наибольшей нижней и наименьшей верхней грани в L будут, соответственно, операции inf и sup, операциями пересечения Д и объединения V будут операции min и шах, и эти операции будут определять и операции над НО. Введение

в L дополнительных операций, например, операций сложения и умножения, позволяет ввести и соответствующие дополнительные операции над НО.

В том случае, когда L является отрезком вещественной прямой [О, 1], функция (2.1) будет записываться также в виде функции принадлежности

и во всех соотношениях, используемых ниже, наравне с записью R{x, у) будет применяться запись Цн(а:, у).

Если множества X ш Y конечны, нечеткое отношение R между X и У можно представить с помощью его матрицы отношения, строкам и столбцам котороіі ставятся в соответствие элементы множеств X и F, а па пересечении строки X и столбца у помещается элемент R{x, у) (см. табл. 2.1).

В случае, когда множества X и F совпадают, НО R: ХХХ-> L называет ся нечетким отношением на множестве

X. Такому отношению можно поставить в соответствие взвешенный граф (рис. 2.1), в котором каждая пара вершин {х, у) из X соединяется стрелкой с весом R{x, у) [35, 37, 38, 48—51, 52].