§ 2.2. Операции над нечеткими отношениями

Объединение RM S и пересечение Д П 5 НО определяются следующим образом:

Отношение включения R^ S для НО определяется с помощью отношения частичного порядка в L:

Множество ^(Х X У) всех НО между X и У образует дистрибутивную решетку по отношению к операциям объединения и пересечения (2.3) и (2.4) и удовлетворяет следующим тождествам:

Выполнение этих тождеств для ^{XXY) следует из выполнения соответствующих тождеств для решетки L. В ^ (XX Y) выполняется также следующее соотношение

Из полноты решетки L следует, что она обладает наименьшим О и наибольшим I элементами, такими, что О ^ а, а ^ I а ^ L. Эти элементы определяют, соответственно, наименьший 0 и наибольший U элементы решетки всех НО ^(ХХ7);

Отношения (2.6) и (2.7) называют соответственно пустым и универсальным отношениями. Эти отношения удовлетворяют в ^(XXY) следующим тождествам:

Заметим, что если L является интервалом вещественных чисел [а, 6], то наименьший О и наибольший I элементы будут равны, соответственно, а и 6. В частном случае, когда L = [О, 1], получим, соответственно, ноль и единицу интервала [О, 1].

Следующее соотношение определяет композицию R<> S нечеткого отношения R между X и У и нечеткого отношения S между 7 и Z:

Здесь V означает наименьшую верхнюю грань множества эле-

ментов {If{^iy)/\S{i/yZ)), где у пробегает все значения из Y. В силу полноты L эта операция всегда определена. Как нетрудно увидеть из (2.8), отношение R'>S будет отношением между X и Z.

Кроме операции композиции (2.8), которая определяется с помощью основных операций решетки L, существуют и другие варианты операции композиции, которые определяются с помощью дополнительных операіщй, вводимых в L. В зависимости от того, является ли L множеством векторов, множеством лингвистических переменных или множеством чисел, эти дополнительные операции будут иметь и соответствующий ввд. Например, если L является множеством вещественных чисел, то операция Л в (2.8) может быть заменена на операцию взятия сред-

неіо арифметического, что даст другое определение операции композиции:

В случае L = \0, 1] соотношение (2.8) записывается в виде

Замена в (2.10) операции Л па операцию умножения • дает следующее определение операции композиции:

Мы здесь ограничимся рассмотрением своііств основной операции композиции (2.8). Свойства других операций композиции рассматриваются в работах [24—26, 37—38, 52]. В дальнейшем будет предполагаться также, что X — Y ж R является НО на множестве X.

Нечеткое отношение Е такое, что

играет по отношению к операции композиции (2.8) роль единицы: E°R = R°E = R. В теории обычных отношений отношение Е называется отношением равенства [22]. Для любого нечеткого отношения R определяется также обратное ему отношение Л"‘: