§ 2.6. Классификация нечетких отношений

Все типы НО в зависимости от свойств, которыми они обладают, могут быть разделены на три больших класса (см. рис. 2.2, а). В первый класс входят симметричные отношения, которые обычно характеризуют сходство или различие между объектами множества X. Такие отношения представляются с помощью взвешенного графа с неориентированными дугами. Второй класс образуют антисимметричные отношения. Эти отношения задают на мпол^ество отношение упорядоченности, доминирования, подчиненности. Таким отношениям соответствуют

ориентированные взвешенные графы с односторонней ориентацией дуг. Третий класс состоит из всех остальных отношений. Этим отношениям соответствуют взвешенные графы с двусторонней ориентацией дуг, причем веса противоположно направленных дуг в общем случае могут не совпадать.

Отношения каждого класса, в свою очередь, могут быть разделены на подклассы, в зависимости от выполнения условий рефлексивности или антирефлексивности.

Рефлексивные и симметричные отношения обычно называют отношениями сходства, толерантности, безразличия или неразличимости. В дальнейшем эти отношения будут называться отношениями сходства и обозначаться буквой S. Антирефлексивные симметричные отношения называются отношениями различия и будут обозначаться буквой D. Отношения сходства и отношения различия двойственны друг другу, например, S0 двойственно D0, Si двойственно Dl. Любое соотношение, записанное для одного из этих отношений, можно записать двойственным образом и для другого отношения заменой отношения =sS па 5?, 5? на =^, а операций V, Д и других соответственно на двойственные им операции Д, V и другие.

Антисимметричные отношения, называемые порядками и обозначаемые буквой Р, в зависимости от выполнения условия рефлексивности или антирефлексивности делятся на нестрогие и строгие порядки.

Из отношений третьего класса, обозначаемых буквой R, обычно выделяют лишь рефлексивные отношения, которые будут называться слабыми порядками. Слабые порядки можно разложить на симметричную и антисимметричную части, поэтому обычно считают, что они несут в себе информацию как о сходстве, так и об упорядоченности объектов множества X. Антирефлексивные отношения этого класса также могут быть разложены на симметричную и антисимметричную части, которые могут интерпретироваться как отношение различия и отношение строгого порядка, однако в практике такие отношения обычно не рассматриваются из-за трудности сочетания в одном отношении двух близких по смыслу понятий «различие» и «порядок».

На следующем уровне классификации из каждого класса отношений могут быть выделены отношения специального вида. Эти отношения определяются условием транзитивности, которому они удовлетворяют. Условия транзитивности устанавливают связь между силой отношения для различных пар объектов из X. Эта связь может быть как очень слабой, так и накладывать достаточно сильные ограничения на возможные значения силы отношения между объектами из X. Число отличающихся друг от друга условий транзитивности зависит от типа отношения, для которого они формулируются. Для симметричных отношений число различных условий транзитивности, приводящих к невы

рожденному нечеткому отношению, значительно меньше, чем для антисимметричных отношений.

Условия транзитивности зависят от вида операций, с помощью которых они определяются. Наиболее общими условиями транзитивности являются условия, определяемые с помощью решеточных операций V и Л в L. Более частными являются условия, определяемые с помощью дополнительных операций в L, зависящих от конкретного вида L. В этих случаях (см. рис. 2.2, а) указывается вид соответствующего множества L. Например, L — [О, М] означает интервал вещественных чисел от нуля до М < оо.

При L = [О, 1] существуют все типы транзитивности, указанные на рис. 2.2, а. В этом случае классы отношений, удовлетворяющие различным типам транзитивности, могут быть упорядочены по включению. Запись Р< Pj на рис. 2.2, б, 2.2, в означает, что класс отношений Р.- включает в себя класс отношений Pj.

Для слабых порядков R различные типы условий транзитивности могут быть выражены через соответствующие условия составляющих их отношений сходства S и строгого порядка Р, поэтому на рис. 2.2 эти условия не приводятся.

Предлагаемая здесь классификация не является единственно возможной, она основана на других известных подходах к анализу отношений, рассматриваемых в работах [13—16, 18—30, 37-41, 51, 52].