§ 3.2. Аксиоматический подход к определению показателей размытости НМ

Основные свойства, выполнения которых разумно потребовать от показателя размытости нечетких множеств, впервые были сформулированы в работе [15]. В работах [1—3, 10, 17, 19, 22, 27—28, 30, 33—35, 38] предложены различные модификации и дополнения этих свойств, положенные в основу аксиоматического определения показателя размытости НМ.

Показатель размытости НМ можно определить как меру внутренней неопределенности, двусмысленности объектов множества X по отношению к некоторому свойству Л, характеризующему эти объекты и определяющему в X НМ объектов А. Если некоторый объект X ^ X обладает свойством А, но лишь в частичной мере: 0<[ід(д;) <1, то внутренняя неопределенность, двусмысленность объекта х по отношению к свойству А проявляется в том, что он, хотя и в разной степени, принадлежит сразу двум противоположным классам: классу объектов, «обладающих свойством Л», и классу объектов, «не обладающих свойством Л». Эта двусмысленность объекта х по отношению к свойству А максимальна, когда степени принадлежности объекта х к обоим классам «Л» и «не Л» равны, т. е. [іа(:!:) = 0,5 и Цн6а(-2;) =1 — — [ІА (:г:) = 0,5. И наоборот, двусмысленность объекта минимальна, когда объект принадлежит только к одному из этих классов, т. е. либо |Лл(.г)=1, |Лнѳа(.г)=0, либо |ЛА(а:)=0, |ЛнеА(л;)=1. Таким образом, глобальный показатель размытости НМ Л можно определить в виде функционала d: ^ (X)     удовлетворяю

щего следующим условиям:

Р1. <^(Л)=0 тогда и только тогда, когда А-—обычное множество;

Р2. d{A) принимает максимальное значеине тогда и только тогда, когда \іа{х)= 0,5   е X;

РЗ'. d{A)s^d{B), если Л является заострением 5: Ца < т. е. Ца(л:) ^ при \ів(з:) <0,5, \іа[х) > \х,б{х) при |Лв(ж) >

> 0,5 и \іа{х) — любое при [гв(ж) = 0,5;

Р4. d{A) = d{A) (симметричность по отношению к 0,5);

Р5. d{A и В) + d{A П В) = d{A) + d{B), т. е. d является оценкой на решетке ^ {X).

Условия Р1, Р2, РЗ' были сформулированы в [15]. В [34] предложено к ним добавить еще два; Р4 и Р5. Условие Р4 представляется достаточио естественным, а Р5 приводит к аддитивности показателя размытости d.

В [1] установлено, что условие Р5 при конечном X выполняется для любой функции d: ^{X) ->• тогда и только тогда, когда d допускает представление

і"де Г,(г/)—вещественнозначные функции от ^ [О, 1], и N — чнсло элементов множества X = {хі, ..., Xn^-

В [1, 2] предлагается усилить условие РЗ' и потребовать наряду с условиями Р1 и Р2 строгого возрастания d: РЗ. d{A) < <-d{B), если Л является заострением В я А ¥= В. Тогда условие Р2 оказывается лишним, так как оно следует из РЗ, а из РЗ, Р5 следует, что условие Р1 можно заменить па более простое: Р6. fi(0)=O, где 0 — наименьший элемент решетки Ф(Х), т. е.

0(х)=О для всех х^Х. Условия Р5 и Р6 эквивалентны условию Р7. d{A и В) = d{A) + d{B), если А Рі В = 0.

Итак, показатель размытости можно рассматривать как аддитивный (Р7), симметричный (Р4) и строго возрастающий с увеличением размытости нечеткого множества (РЗ) функционал, определенный на ^(Х) [1, 2]. Можно показать, что вещественный, определенный на ^(Х) функционал является показателем размытости на ^ (X) тогда и только тогда, когда он допускает представление

где для всех / е/ = {1, 2, ..N), Tj{y)— вещественные функции от    1] такие, что ГД0)==0, Т}{у)= Т j{\ — у), и Т^{у) стро

го возрастают на интервале [О, 0,5]. Здесь предполагается, что X — іхі, ..., Xif} •

По аналогии с шенноновской энтропией теории информации в [15] вводится логарифмическая энтропия НМ:

где S — функция Шеннона

и к — положительная константа. В (3.4) полагается, что .5(0) = = 5(1) = 0. В [13] исследуются также свойства показателя размытости (3.1), в котором функция Tj(y) имеет следующий вид:

где h{y)—это непрерывные и строго вогнутые функции в интервале [О, 1] такие, что 1іш/г(і/) = lim./г(і/) = 0. Этот показатель

Ѵ^О  У-*1

размытости связан с мощностью НМ

следующим неравенством:

В (3.5) функции h могут быть записаны в виде h{y) = = f/L(l/j/), где L — непрерывная вогнутая функция в (1, +о°). Выбор в качестве L функции Ь{у) — \о. (у) приводит к логарифмической энтропии (3.3), выбор Ь\у)=і — і/у приводит к функционалу, имеющему довольно простой вид:

Если определить моменты нечеткого множества в виде [13]:

то показатель размытости (3.6) будет моментом первого порядка, а логарифмическая энтропия может быть выражена через моменты следующим образом:

Если отказаться от условия аддитивности Р5, то показатель размытости может быть задан, например, как монотоіпіо возрастающая функция от (3.2) [35];

В работах [27—28] рассматриваются дополнительные аксиомы строгой выпуклости [28] и обобщенной аддитивности [27].

Выбор конкретного показателя зависит от условий задачи. В следующем разделе будет показано, что показатель размытости нечетких множеств может быть задан с помощью метрики, введенной в (X). В [13, 15, 18] обсуждается связь между показателем размытости НМ и неопределенностью, возникающеіі при принятии решения, к какому из двух классов «Л» или «не А» отнести объекты множества X. В практике человеку часто приходится принимать подобные решения, когда необходимо отнести объект к одному из двух классов, характеризующихся противоположными свойствами типа: «белый — черный», «пригоден — не пригоден», «нравится — не нравится», «хороший — плохой» и т. п. Такие решения вызывают у лица, принимающего решения, неопределенность, обусловленную тем, что объекты часто обладают сразу обоими противоположными своі”і- ствами, хотя и в разной мере. Можно предположить, что показатель этой неопределенности зависит от размытости ситуации, в которой принимается решение. В [15] предполагается, что показатель неопределенности решениіі может удовлетворять тем же свойствам, что и показатель размытости нечетких множеств. Однако систему свойств, которым должен удовлетворять показатель нерпределенности, можно и ослабить, заменив в системе свойств (РЗ, Р4, Р7) условие РЗ на более слабое РЗ'. Это приводит к нестрогому возрастанию функций Tj{y) в (3.2), а условия Р1 и Р2 заменяются такяге па более слабые условия:

Р1'. d{A) = О, если А — обычное множество,

Р2'. d{A) максимально, если ііа{з:) =0,5 Ух^Х.

Такое определение меры неопределенности решения в нечеткой ситуации позволяет включать в рассмотрение пороговые

функции принятия решений, например, такие:

где а < 0,5 — некоторый параметр, зависящий от условий принятия решений, а с — некоторая константа. Подобные функции рассматривались, например, в [И].