§ 3.5. Другие подходы к определению показателей размытости

В [13] предлагается обобщение понятия показателя неопределенности па случай М ортогональных свойств, т. е. таких

м

{] = і, ..М), что 2 = 1- 'Обычный показатель раз-

j=i

мытости получается при М = 2. Этот обобщенный показатель неопределенности описывается для каждого х^Х с помощью функций (3.5):

Этот показатель может использоваться при анализе процессов принятия решений на основе описания объектов с помощью М ортогональных свойств.

Интересный вариант аксиоматизации показателей размытости предложен в [30], где рассмотрен класс С дополнений в алгебре НМ, введено понятие равновесного значения с{х)= х и дана расширенная интерпретация условияРЗ'

Обобщение показателя размытости на случай L-нечетких множеств дается в [17]. Например, когда L — векторная решетка, показатель размытости (3.2) может быть записан в виде вектора

или его сверткигде dj{A) — показатель раз

мытости НМ А\ характеризующего множество X по /-му признаку, критерию, свойству, а А — это совокупность таких А\ описывающих различные стороны объектов из X. Заметим, что обобщение показателя размытости на L-нечеткие множества рл: X L [16, 17], может быть получено в случае, когда L является нормальной алгеброй Де Моргана, с помощью теоремы 3.3.

Обобщение понятия показателя размытости НМ на случай произвольного (не обязательно конечного) множества X дается в работах [10, 19, 34]. Эти подходы основаны, соответственно, на понятиях сходящегося ряда, интеграла по мере и нечеткого интеграла. В последнем случае условие Р5 отбрасывается, и определяются неаддитивные показатели размытости вида sup-min или sup-prod. Другой подход может быть основан на теореме 3.3 пріі существовании полояштельноп оценки на решетке НМ.

Двойственно понятию показателя размытости может быть введено понятие показателя неразмытости, меры заостренности НМ. Подобная мера, двойственная функционалу (3.6), вводится в [26]. В [12] дбвольпо специфичный показатель размытости, характеризующий степень разделимости нечетких образов, используется в задачах автоматической классификации. В [14] показатель неопределенности вводится как число элементов множества X, для которых Ца (ж) > 0. Здесь X означает множество различных способов выполнения нечеткой программы А.

В [36] показатель размытости вводится как число плохо определенных элементов множества X, т. е. таких, для которых О < [Хл(а;) < 1, а в общем случае е < Ца(ж)< 1 — е, где е — ширина некоторого интервала, характеризуемого функцией принадлежности, е е [О, 0,5]. Подобный показатель используется как характеристика неопределенности представлений и понятий, используемых на разных уровнях иерархического описания систем.

Показатели размытости НМ могут использоваться при анализе процессов принятия решений (см. также раздел 3.2). В этом случае показатель размытости может трактоваться как показатель неопределенности, возникающей при выборе в плохо определенной ситуации. Последовательность решений, обучение могут уменьшать эту неопределенность. Естественно предполагать, что в процессе обучения лицо, принимающее решения, получает информацию, количество которой равно количеству имевшейся ранее неопределенности. В [15] предлагается в качестве показателя информационного различия размытых ситуаций использовать разность их показателей неопределенности. Однако такой подход не учитывает сходства и различия нечетких ситуаций. В качестве показателя информационного различия, учитывающего взаимную зависимость нечетких ситуаций, можно предложить следующую функцию:

В отдельную группу следует выделить показатели неопределенности в ситуации принятия решения, основанные на понятии мощности подмножества а-уровня НМ ІЛаІ = \{х ^ Х\\і{х)~^ а}\. Примерами могут служить

и двойственный ему показатель Ап([Хл) = 1 — Тг(р_а) [40], а также показатель неопределенности

и связанная с ним мера прироста информации  где

В [8] показатель размытости (3.3) используется при анализе причинно-следственных связей между различными факторами в социологических исследованиях. В [6, 7] показатель размытости НМ используется как параметр в задаче лингвистической аппроксимации оптимального управления динамической системой.

Приложения показателей размытости в задачах распознавания образов и принятия решений обсуждаются также в [1, 13, 15, 18].