§ 4.2. Нечеткие меры

Рассмотрим основные свойства печетких мер и интегралов, введенных в [27, 37], а также их содержательную связь с мерами возможности [41], используемыми в гл. 5, 6 для построения алгоритмов нечеткого вывода.

Пусть X — произвольное множество, а ^ — поле борелевских множеств (а-алгебра) для X.

Определение 4.1. Функция g‘(-)i определяемая в виде g:    1], называется нечеткой мерой*), если она удовлет

воряет следующим условиям [27, 30]:

1)g{0)-O,\

2)   ^ (X) = 1 1 (ограниченность);

3)   если А, В ^ ^ и Acz В, то ^(ЛХ§-(5) (монотонность);  ('*•1/

4)   если Рп^ ^ и {Fn} является монотонной последовательностью, то lira g{Fn) = ^Піга Fn\ (непрерывность).

n^OO Vw^OO )

Тройка (X, g) называется пространством с нечеткой мерой. Для нечеткой меры в общем случае не должно выполняться условие аддитивности: g{A U В)¥= g(A)+g(B). Таким образом, нечеткая мера является однопараметрическим расширением вероятностной меры.

Выражение g(A) представляет собой меру, характеризующую степень нечеткости А, т. е. оценку нечеткости суждения «X ^ А» или степень субъективной совместимости X с А. Нетрудно увидеть, что монотонность меры g влечет за собой

Для построения нечетких мер используется следующее К-пра- еило [27, 30]. Пусть А, В ^ А f\ В = 0. Тогда

g,[AUB)=g,{A)+g,{B)+K-g,{A) -g,(B), -1<?1<оо. (4.2)

В случае А U В = X будем называть выражение (4.2) условием нормировки для ^л-мер. Очевидно, что g-^(X)=l; gi(0)=O. Параметр ?і,е(—1, 4-оо) называется параметром нормировки g-j^-Mepbi. При > О, g-^(4 и 5)> g-^(il)+g-^(5) имеем класс су- пераддитивных мер, а при — 1 < < О, g-^(il U 5) < g-^(il) + ^гД5) получаем класс субаддитивных мер.

Легко убедиться, что если Л = X \ Л, А ^ то из (4.2) следует

1 + {АУ   (^-3)

Формула (4.3) определяет класс так называемых ^.^дополнений Сугено [30].

в общем случае, когда А ш В — произвольные непересекающиеся подмножества множества X, т. е. А, В ^ А Г\ В ¥= 0, выражение (4.2) приобретает вид

Если X = 52, то gji-Mepy можно получить с помощью непрерывной функции h, удовлетворяющей следующим свойствам:

1)   если ж <1/, 10 h[x)<h{y)-, X, у ^ Я.\

2)   Ит h(x)~0-, lira h{x =1.

Х~^—оо    сс^+00

Функция h аналогична функции распределения вероятности и называется нечеткой функцией распределения.

Таким образом, нечеткую меру gx на {Я, можно построить

в виде

Мера gi в (4.5) удовлетворяет ?и-правилу. В частности, g-x((—оо,а:]) =/г.(х) Ѵ^е(—1,-Ьоо).

(4.6)

Далее предположим, что К ~ = {«1, S2, ..Sn}. Мера gx на {К, 2’^) строится следующим образом (О ^

ге/):

Если К' с К, то

Выражение (4.8) также удовлетворяет ?и-правилу и из (4.7) следует, что

Рассмотрим несколько примеров нечетких мер (см. рис. 4.1).

Меры Дирака. Примитивный класс мер Дирака определяется соотношением

где Хо — заданный элемент в X. Меры Дирака — частный случай вероятностной меры, соответствующий детерминированной ситуации (меры полной уверенности). Все рассматриваемые далее нечеткие меры можно разделить на два класса: супераддитивные меры (Я>0) и субаддитивные меры (—1<Л<0).

4.2.1. Супераддитивные меры. Функция доверия. Определение функции доверия (belief function) предложено в [26], где предполагается, что степень доверия высказыванию А{АФ0), которое является истинным, не обязательно равна 1. Это означае'^ что сумма степеней доверия высказыванию А и его отрицанию А также не обязательно равна 1, а может быть либо равной, либо меньшей 1. Другими словами, когда высказывание А(А¥=0) является истинным с определенной степенью s e[0,1], его мера неопределенности выражается с помощью функции

которая называется простой функцией носителя, сосредоточенной на А.

Если S == 1, то получаем меру, которая называется мерой определенности, сосредоточенной на А. Если \А\ = то получаем меру Дирака, сосредоточенную на А.

Если 5 = 0 или А=Х, то тогда Ъ (В) называется пустой функцией доверия (полное незнание). В результате обобщения этих рассуждений в [26] была введена функция доверия — мера, удовлетворяющая следующим свойствам:

Б случае, когда \^\ = 2, получаем:

(свойство супераддитивпости) и

Возможно также другое определение этой меры [10, 13]. Пусть т — мера, удовлетворяющая следующим свойствам:

Тогда

является функцией доверия. Поэтому функции доверия называются также нижними вероятностями [12]. Из (4.14) вытекает;

Любая ^я-нечеткая мера (кроме меры Дирака) является функцией доверия тогда и только тогда, когда О [10]. Отсюда следует, что мера вероятности есть частный случай функции доверия.

Согласованная функция доверия. Понятие согласованной функции доверия (consonant belief function) базируется на определении ядра С = {В <=^ Х\т{В) > 0), полностью упорядоченного по вложенности. Легко показать, что любая простая функция носителя является согласованной функцией доверия. Если АФХ, то мера неопределенности

В [26] согласованная функция доверия определяется с помощью следующих аксиом:

При этом

4.2.2. Субаддитивные меры. Меры правдоподобия. Мера правдоподобия множества А шз X определена в [10, 26] как

где Ъ — функция уверенности.

Мера правдоподобия удовлетворяет следующим аксиомам

Существует другой способ определения функции правдоподобия [10, 13]. Пусть те — мера, удовлетворяющая свойствам (4.13), тогда

является мерой правдоподобия. Меры правдоподобия называются также верхними вероятностями [12]. _

Пусть и V — две меры такие, что   ^і(Л)-Нѵ(Л) =

= 1. В этом случае р, является функцией доверия тогда и только тогда, когда ѵ — мера правдоподобия.

Мера возможности. Мерой возможности [41] называется функция П: ^-> [0, 1], удовлетворяющая следующим аксиомам:

Здесь N — множество натуральных чисел.

Мера возможности может быть построена с помощью распределения возможности п{х), являющегося функцией я: Z->• ->• [О, 1], такой, что sup я (ж) = 1 (условие нормировки). Не-

xsX

трудно увидеть, что ѴЛ е П (Л) = sup я (ж). Очевидно, что для

жеА

счетного множества я (а;) = П ({а;}).

Любая мера возможности является нечеткой мерой тогда и только тогда, когда существует функция распределения / такая, что sup / (ж) = 1.

XSX

Любая мера возможности П является ^;і-мерой —1, °°))

тогда и только тогда, когда П — мера Дирака.

Пусть [г и V две меры такие, что  ^і(Л)4-ѵ(Л) = 1.

Нечеткая мера р, является согласованной функцией доверия тогда и только тогда, когда ѵ является мерой возможности.

Содержательные аспекты теории возможности рассмотрены в работах [13, 20—21, 41].

Мера вероятности. Вероятностная мера (>і, = 0) является частным случаем функции доверпя или меры правдоподобия (см. рис. 4.1). Нечеткая мера g = P является вероятностной мерой тогда и только тогда, когда выполняются условия:

g^-мера. Нечеткая мера g = gv называется gv-мерой, если она удовлетворяет следующим аксиомам:

Нетрудно увидеть, что gv-мера является расширением меры Цукамото [37], для которой ѵ ^ [О, 1]. Очевидно, что при ѵ = О, ^ѵ-мера является мерой возможности, а при ѵ = 1 — вероятностной мерой. Если V > 1, то gv-мера описывает неопределенность, отличающуюся по своим свойствам от вероятности или возможности.

Условие нормировки для gv-меры в случае счетного множества X имеет вид

где gi g,{{xi}), VieN, Xi^X.

Если Z = 52, то нетрудно увидеть, что для нечеткой плотности /ѵ (а:): X [О, 1] можно получить

Утверждение 4.1. Пусть X — произвольное множество, Л с: Z, а g^\ SS ^ [О, 1] является |^ѵ-мерой. Тогда для Л = Z \ 4 мера нечеткости примет вид

Доказательство. Поскольку Ѵа, 6 е 5?: a\J Ъ = {а + 6)/2 + (а — Ь)/2, то условие нормировки для Л<=ХиЛ=Х\Л примет вид:

Если ^ѵ(Я), тогда g-v(l) = (1 — й'ѵ(Л) )/ѵ, а при

g^A) <g,{A), §-,ѵ(Л) = 1 - ѵ§-ѵ(Л). _Для случая v>l условие нормировки имеет силу, если §-ѵ(Л|= шах((1 — |Гѵ(Л))/ѵ, 1 —

—    vgv(A)), а для ѵ^[0, 1] §-ѵ(Л) = шіп((1 —|Гѵ(Л))/ѵ, 1 —

—    ѵ^ѵ(Л)).

Утверждение 4.2. Пусть X — произвольное множество, ^ — борелевская о-алгебра, gy-. ^ -*■ [О, 1] — нечеткая ^ѵ-мера.

Тогда ѴЛ, В ^ А f] В =/= 0,   где С = Л \ (Л П 5);

Доказательство. Условие нормировки для А, В ^ 3S относительно ^ѵ(Л) имеет вид

если gv{A\(AnB))>g^(A Г[.В), тогда \(Л П5)) = (§-,(Л) — — g,{A (] В))/V, а если §-ѵ(Л \(Л П5))< ^,(Л П 5), то ^ѵ(Л\(Ап Л5)) = ^ѵ(Л)-ѵ^ѵ(Л (IB).

Нетрудно увидеть, что если ѵ > 1, то

а нри V S [О, 1]

что доказывает утверждение.

Утверждения 4.1 и 4.2 справедливы только для конкретного разбиения множества на подмножества.