§ 4.3. Особенности аппроксимации нечетких мер

При решении практических задач моделирования нечетких систем с использованием аппарата теории нечетких мер возникает необходимость оперирования большими объемами нечетких данных. Поэтому для упрош;ения вычислительных алгоритмов на ЭВМ удобно аппроксимировать нечеткие меры. Для этой цели можно использовать (L — Л)-функции [13—15].

Определение 4.2. Функция, обозначаемая L (или Л), является функцией (L — Н)-типа тогда и только тогда, когда

Ь{) монотонно убывает па Й?'*'.

Пример: Li(a:) = max(0, 1—Іа:!”); -С<2(а:) = ехр(—UI”); р> і.

Особенно удобно использовать (L — Л)-функции в случае ІГх-меры Сугено.

При этом функция h{x) может быть представлена как

где а — параметр, при котором h{x)=i, р — коэффициент нечеткости. Пример функции (L —і?)-типа, аппроксимирующей

функцию распределепия нечеткости, приведен на рис. 4.2.

Рассмотрим особенности процедуры приближения экспериментальных функций распределепия нечеткости функциями (L —/?)-тина. Пусть в результате формализации некоторой выборки нечетких данных нолу- чеп ряд экснериментальных •чначопий плотности распределения нечеткости g^, gn, которым соответствуют Хі, Х2, . . ., Хп, Хі^Ха^, іе/={1, п}.

Все множество X можно разбить па подынтервалы таким образом, что Z= и А.;; Жі^Аі; А^ = — А/2, а;^ + А/2],где

г^І

А—длина подынтервала; А =(6 — а)/(и — 1); а = inf Z, Ь — = sup X.

Значение плотности распределения нечеткости в г-й точке интервала [а, 6], определенное экспериментально, можно приближенно определять как g-;i(Ai) ~ §-;^({а;Д). Нечеткие меры для под- иптервалов А, можно вычислять, используя (L —/?)-аппрокси-. мацию функции распределения нечеткости. При этом

Пусть S с {АіІ Аі <= [а, 6]} — множество подынтервалов множества X, 9^ (S) — множество всех подмножеств множества подынтервалов. Нетрудно увидеть, что ѴЛе=5^(5): A|SAc:5;

где Ѳ = {iUi е Аі S Л}; Д; = [а;(—А/2, а;і + Д/2^. Нечеткой мере gx{A) будет соответствовать нечеткая мера g%{A), полученная из эксперимента нри формализации нечеткой плотности:

Параметр Я определяется из условия нормировки;

Таким образом, задача (L — Л)-аппроксимации функции распределения нечеткости сводится к оценке параметров а и р (L — і?)-функции но минимуму функционала качества

При большем количестве экспериментальных точек минимизация функционала (4.25) становится затруднительной. В этом случае можно воспользоваться приближенной процедурой, смысл которой заключается в использовании только части множества подмножеств подынтервалов 9{S) для оценки а и р. При этом

Задачу можно упростить, если параметр а определять непосредственно по результатам эксперимента. Можно показать, что если

—1, то функция множества     х\) = \ нри х^х*,

где а:* = arg sup g ({а^і}). Таким образом, для определения а,

ieN

при = ~1, достаточно найти минимальное значение х ^ [а, 6], при котором нечеткая плотность равна 1. Если % > —1, тогда а = sup X. В этом случае параметр ^ может быть легко найден при помощи любой процедуры численной минимизации.

Решение многих задач нахождения значения ^ѵ-меры для случаев множества действительных чисел может выглядеть сравнительно просто, если применять аналитическую аппроксимацию нечетких плотностей, с помощью которых задаются ^ѵ-ме- ры. Такая аппроксимация может быть сделана с помощью аналога (L — і?)-функций — функций {S — Ь)-типа.

Определение 4,3. Функция, обозначаемая SL{-), является функцией (5 —L)-типа тогда и только тогда, когда

причем SL{-) — монотонно убывает на S е [О, 1].

Пример; 5L(a;)= 5 шах(0, 1 —кі^); 5L(a;) = 5ехр(—Ы"); р>1.

Определение 4.4. Нечеткой плотностью 5Ь-типа называется нечеткая плотность g': X -*■ [О, 1] такая, что

где а, ^—правый и левый коэффициенты нечеткости,

{') — функции (L — і?)-типа.

Очевидно, что если L' = L, то

Можно показать, что V [а, ЩспХ спМ

ь

гдеНетрудно увидеть, что

^0;

Рассмотрим особенности приближения экспериментальных ^ѵ-мер аналитическими выражениями с помощью функций (5 — Ь)-типа.

Аналогично вышеизложенному будем предполагать, что имеется экспериментальная последовательность значений нечеткой плотности gi, gi, • - gn- Используя аналогичные обозначения для подынтервалов, можно предположить, что нечеткая мера на элементарном подынтервале равна значению нечеткой плотности в точке, принадлежащей этому подынтервалу, т. е. gv (Aj) ~!S'v({^i}), где gv(А,) — нечеткая мера, задаваемая аналитически для Аі, Ѵѵ ({а^г}) = S’!- В случае (5 — L)-аппроксимации получаем

Параметр S определяется как

Параметр нормировки ^ѵ-меры ѵ может быть найден из условия нормировки (4.23) по формуле

Оценка параметров (L — і?)-функций может быть проведена аналогично (4.25).

При этом

где

Когда минимизация функционала (4.27) затруднительна, можно воспользоваться приближенной процедурой, аналогичной (4.26). При этом

где Z)i = и_ Ah.

se{i,i>

В простейшем случае, оценивание параметров (5 —L)-функций следует производить, используя функционал следуюш;его вида;

Рассмотренные методы аппроксимации позволяют значительно упростить процедуры вычисления нечетких мер при определении значений нечетких интегралов *) в различных алгорит-

мах. Кроме того, при использовании SL- и (L — Л)-аппроксима- циіі можно значительно сократить обтаем памяти ЭВМ, необходимый для хранения инфорліации о функциях распределения нечеткости.