§ 4.5. Применение нечетких мер и интегралов для решения слабо структурированных задач

4.5.1. Процесс субъективного оценивания. Рассмотрим задачу субъективного оценивания некоторым индивидом нечетко описываемых объектов, например, дом, лицо и т. д. [30—32]. Предположим, что объект характеризуется п показателями.

Пусть К = {si, .. — множество показателей. При оценивании дома такими показателями могут быть: = плош;адь,

«2 = удобства и т. д., а для лица = глаза, «2= нос и т. д. В общем случае множество К необязательно должно быть множеством физических показателей, оно может быть множеством мнений, критериев и т. д. Пусть h: К ^ [О, 1] — частная оценка объекта, т. е. h(s) — оценка элемента s. Если речь идет о распознавании образов, то h(s) может рассматриваться как характеристическая функция образа. На практике h{s) может быть легко определена объективно или субъективно.

Например, когда объект — дом, объективно имеем оценку h{si)= h (площадь) = 800 м’*, которая может быть нормализована числом из иитервала [О, 1]. Для лица мы можем пользоваться лишь субъективной оценкой индивида; например, h (глаза) = 0,7.

Предположим, что нечеткая мера для {К, 2^') является субъективной мерой, выражающей степень важности подмножества из К. Например, g({sj) выражает степень важности элемента Si при оценке объекта, g({si, S2})—аналогично обозначает степень важности показателей Sj и Sz- Необходимо отметить, что степень важности всего множества К равна единице.

Вычисляя НИ от /г до ^ получаем:

где е — обобщенная оценка объекта.

Уравнение (4.36) представляет собой свертку п частных оценок. Линейный обобщенный критерий используется обычно в том случае, когда отдельные показатели взаимно независимы. Свертка (4.36) может быть очень полезной, когда существует взаимозависимость показателей, что характерно для большинства задач выбора в нечеткой обстановке.

Процесс субъективного оценивания объектов предполагает идентификацию самой нечеткой меры.

4.5.2. Экспериментальное определение нечеткой меры. Рассмотрим метод приближенного экспериментального определения нечеткой меры [32]. Предположим, что существует т объектов. Пусть hj\ К [О, 1] — частная оценка /-го объекта, а е, — общая оценка, получаемая из (5.17). Предъявляя индивиду объекты и их частные оценки, можно получить его субъективные оценки dj из интервала [О, 1] для всех объектов.

Обозначим ё = тах{еД; е = min {еД и аналогично d п d.

Производя нормализацию ejV/е {1, т?г), мы имеем

Субъективная нечеткая мера может быть получена при условии минимума критерия

Для простоты предполагается, что g в (4.36) удовлетворяет Я-правнлу [27, 30].

Впервые нечеткие меры применялись для оценки сходства одномерных образов [32]. В [37] рассматривалось решение задачи оценки домов. При этом дома оценивались по следующим пяти показателям: площадь, удобства и обстановка, окружающая среда, стоимость, время, требуемое на дорогу до места работы. Известны применения нечетких мер для оценки привлекатель-

ности экскурсионных районов [30], которые оценивались по таким показателям как красота природы, архитектурные памятники и т. д. Результаты оценок использовались для предсказания увеличения экскурсий в ближайшие десять лет.

Интересное решение задачи информационного поиска с применением нечетких мер рассмотрено в [30] применительно к библиотечной информационно-поисковой системе.

4.5.3. Принятие решения в нечеткой обстановке. Рассмотрим пример использования условных нечетких мер для решения задачи принятия решения в нечеткой обстановке [29]. Процесс принятия решения описывается шестеркой

где Ѳ — множество показателей, характеризуюш;их оцениваемый объект х\

X — множество оцениваемых объектов X;

gs — нечеткая мера степени важности показателей;

—нечеткая мера привлекательности объектов из X при их оценке с точки зрения показателя ■О е Ѳ;

Y — множество действий покупателя;

I — функция принадлежности нечеткого отношения на декартовом произведении Ѳ X F, обозначаюш;ая нечеткие потери, когда действие у выбирается для е Ѳ. Задача заключается в поиске стратегии, которая минимизирует нечеткое ожидание функции потерь. При этом нечеткое действие А имеет функцию принадлежностн Y [О, 1], а нечеткая стратегия В, являющаяся нечетким отношением на декартовом произведении XX А, имеет функцию принадлежности цв: X X F ^ [О, 1]. Нечеткое действие А, основанное на нечеткой стратегии В, определяется с помощью функции принадлежности ^ів(х)(г/) = = Іів(х, у). Нечеткие потери для нечеткого действия определяются [29] через функцию принадлежности

Если ЛПР выбирает нечеткую стратегию В, то нечеткое ожидаемое значение потерь примет вид

Решением задачи принятия решения будет  где Oe(-U) — апостериорная нечеткая мера.

Данный подход может быть использован для широкого класса задач принятия решения в нечеткой обстановке. Следует отметить, что при небольшом количестве элементов множества Ѳ нечеткая мера может быть идентифицирована точным методом [29]. Для идентификации нечеткой меры в этом случае эксперимент должен дать оценки степени важности всех подмножеств из Ѳ, т. е. необходимо иметь субъективные оценки d такие, что d: 2® ^ [О, 1]. Идентификация нечеткой меры заключается в минимизации функционала

где 1 2® I ^ card 2® — мощность множества 2^ а ga{E) вычисляется так же, как в п. 4.3. Результатом решения задачи (4.39) является значение параметра Я и нечетких плотностей ^Ѳі> • • • ...,^Ѳп! w = card Ѳ. Опыт рассмотрения задач принятия решения [29] показывает, что значение Я на практике бывает или положительным или отрицательным числом, но не близким или равным нулю.

Еще один из вариантов применения нечетких мер и интегралов в задаче принятия решений предложен в [8]. В этом случае предпочтения ЛПР описываются с помощью логико-лингвистической модели, т. е. схемы нечетких рассуждений вида С и, где С = [ц,із] — матрица нечетких множеств размером п Хт, соответствующая п значениям т лингвистических показателей, и =    • • •) —вектор нечетких множеств, характеризующих полезность. Выбор группой ЛПР рациональной альтернативы осуществляется по критерию максимума значений НИ

вида D == ^ Wftr ° со» где ш — нечеткая мера, характеризующая

идеальную полезность, а Щт — полезность к-\і альтернативы для группы ЛПР. Последняя вычисляется по формуле Wftr = M[Mft,]. Здесь М — оператор вычисления обобщенной меры средних [8], а Uu — НМ, характеризующее полезность к-іі альтернативы для t-To ЛПР.

4.5.4. Процесс обучения в нечеткой обстановке. Одной из замечательных способностей человека является его способность обучаться в нечеткой обстановке. При обучении он успешно использует нечеткую информацию, которая во многих случаях является единственно доступной. В психологии по традиции используются стохастические модели обучаемости, например, модель Буша и Мостеллера, хотя ряд авторов экспериментально показал, что способность обучаться в вероятностной обстановке, как правило, не свойственна человеку [3, 9]. Исходя из этой точки зрения, в [30], [33] предложена модель обучения, которая.

являясь структурным аналогом байесовской модели обучения, позволяет учитывать нечеткую информацию. Данная модель построена с помощью нечетких мер и использовалась для нахождения экстремумов многоэкстремальных функций.

Пусть X — множество причин и У — множество следствий; gx и gY — нечеткие меры для X м. Y соответственно. Пусть gy выражается НИ от Ог(- х) по gx как

где ау(-1а:) ^ есть условная нечеткая мера от Y по отношению к X. Физический смысл этого уравнения легко установить по аналогии с теорией вероятности: gy(-) соответствует вероятности ріу), y^Y, для случая, когда заданы вероятностная мера р{х) и условная вероятность р{-\х). Следует отметить, что определение gr(-) и математические свойства уравнения (4.40) совершенно отличаются от его вероятностного аналога.

Нечеткая мера gx называется априорной нечеткой мерой, соответствующей степени нечеткости субъективной оценки суждения «один из элементов Е X имеет место». Нечеткая мера Oy{F\x), F<=Y является мерой нечеткости суждения «один из элементов F <=Y имеет место при заданном ж».

Рассмотрим метод, позволяющий уточнять gx в процессе получения новой информации, которая в общем случае выражается подмножеством F <:^Y. Эта информация может быть трех типов. Если F состоит лишь из одного элемента, то информация является детерминированной, а если несколько, то недетерминированной. Если F — нечеткое подмножество, то информация — нечеткая.

Пусть нечеткое множество A<=^Y имеет функцию принадлежности |j,a: Y -*■ [О, 1]. Нечеткая мера для нечеткого подмножества А определяется как

Здесь griA) выражает степень нечеткости информации, содержащегося в А. Нетрудно показать, что

где

После получения информации А, нечеткая мера gx может быть уточнена таким образом, чтобы значение gr(^) увеличилось.

Если gx{-) и Or (-la:) удовлетворяют Я-правилу и Оу{Мхі) — убывающая функция, то

где Fi = ІХі, Хі, ..., Хі). Из [33] следует, что

где I является наибольшим индексом, для которого имеет место (4.41) и выполняется условие

Обучение характеризуется возрастанием нечетких плотностей gx, что приводит к увеличению griA).

Пусть gi, і = 1, ..., п, являются нечеткими плотностями для gx. Тогда легко показать [33], что только gi, 1 < і < Z влияют на значения gr{A), поэтому алгоритм обучения имеет вид

где as(0, 1)—параметр, определяющий скорость сходимости. Следует отметить, что после каждой итерации должна осуществляться проверка условия (4.40).

Рассмотренный алгоритм обучения использовался при решении задачи минимизации многоэкстремальных функций [33]. При этом отмечалась высокая эффективность данного алгоритма по сравнению со стохастическими алгоритмами (подробнее см. п. 8.4.2).

Наиболее интересное применение алгоритма рассмотрено при решении задачи классификации. Классификация в этом случае осуществлялась роботом-исследователем. Предварительно осуществлялось обучение робота, а точнее, алгоритма классификации. Информация о параметрах предметов, которые классифицировал робот, снималась в виде сигналов с рецепторов искусственной руки и представлялась в виде лингвистических переменных.

Полученные значения лингвистических переменных, соответствующие отдельным классам предметов, использовались для построения условной меры нечеткости, связывающей параметры предметов с отдельным классом.

Основными преимуществами алгоритма [25] являются: возможность использования нечеткой информации; высокая скорость сходимости; малое время вычисления и большое число используемых классов.

Обширной областью применения нечетких мер и НИ является нечеткая статистика [17—19]. В [19] подробно исследованы методы вычисления нечетких ожиданий (FEV) и их связь с мерами центрального расположения. Практический пример применения FEV для решения задачи предсказания погоды рассматривается в [17—18].

4.5.5. Применение нечеткого интеграла для оценки неопределенности НМ. Для решения многих практических задач с применением теории НМ необходимо оценивать степень неопределенности, размытости нечетких подмножеств, характеризующих различные объекты. Эффективным средством оценки размытости НМ является нечеткая энтропия (см. гл. 3). В [И] предложен метод вычисления нечеткой энтропии с помощью НИ.

Пусть Ф: [О, 1] ^ [О, 1] является ІѴ-функцией [11, 36] такой, что: а) Ф(0)=0; б) Ф(ж) = Ф(1 — ж), а;е[0, 1];

в) функция Ф является неубывающей в интервале [О, 0,5] и невозрастающей в [0,5, 1]. Пусть тройка (X, g) определяет пространство с нечеткой мерой g. В этом случае нечеткая (Ф — g)-энтропия есть функционал

где Ф — .^-измеримая функция.

Если X — конечное множество; и его мощность есть card X = = п, то энтропия (4.42) примет вид максиминной энтропии [36] и будет вычисляться по формуле

где

Рассмотренная энтропия является очень удобным инструментом анализа неопределенности НМ в задачах распознавания, принятия решения, диагностики и управления в нечеткой обстановке.

В настоящее время в теории систем намечается направление, предполагающее возможность использования нечетких мер и НИ для аналитического описания систем [31, 35] с нечеткими возмущениями на входах. При этом предцолагается, что система является детерминированной. В [31] исследуется математическиіі аппарат для описания переходов таких систем из одного состояния в другое на основе соотношений, аналогичных уравнениям Чепмена — Колмогорова.

При исследовании сложных систем нечеткие меры представляют особый интерес для анализа их устойчивости. В случае

нечетких систем устойчивость понимается как сохранение уровня сходства нечеткого состояния системы с недопустимой областью меньше некоторого порога е. В качестве меры сходства можно взять нечеткую меру. Тогда m-мерпая нечеткая система Ф: (Хт) -*■ ST(Ym) будет е-устойчивой относительно некоторого семейства нечетких соответствий F(Xm)<=- (Хт) тогда и только тогда, когда для   имеем Ф(цл)= Цв и #(н-в)г£

е, где уил^&-(Хт), \ів^ (Ym).

В [7] рассмотрены методы коррекции е-устойчивости динамических многокритериальных систем нечеткого целевого управления, в том числе с (L — R) -аппроксимацией нечетких мер.