§ 5.3, Решение уравнений с нечеткими числами

Ряд задач анализа математических моделей нечетких систем предполагает необходимость решения уравнений с нечеткими числами. С практической точки зрения интересно рассмотреть уравнения с обычными математическими термами и нечеткими

математическими отношениями и уравнения с нечеткими числами и обычными математическими отношениями.

В общем случае нечеткими уравнениями называются уравнения, в которых коэффициенты и/или переменные являются нечеткими числами.

5.3.1.    Уравнения с нечеткими отношениями и обычными математическими термами.

Определение 5.1. Математическим термом называется конструкция из элементов х^ЗІ'^ ж связывающих их операций: +, X,

Определение 5.2. Если   рлГ 3?^[О, 1],

то А называется нечетким отношением, а у) указывает

на то, с какой степенью (х, у) удовлетворяет А. Примером А может быть А= «приблизительно равно».

Определение 5.3. Если /, и /а математические термы и А нечеткое отношение, т. е. \іа\ [О, 1], то /И/а называется нечетким уравнением с нечетким отношением.

Теорема 5.1. Предположим, что /і и /з математические термы, А является нечетким отношением и имеет место уравнение fiAfz. Тогда, если а е то

В дальнейшем Ца(х, у) будем обозначать А{х, у).

Если А = {(х, у), \іа(х, у)}^Т{Я^), А{х, у)=а, то Ѵае е[0,1],  нечеткое отношение А а) симметрично, если

А(х, у) = А(у, х); б) аддитивно независимо относительно Ь, А + Ь^А; в) мультипликативно независимо относительно Ъ, Ъ-А=А.

Теорема 5.2. Нечеткое отношение А является аддитивно независимым тогда и только тогда, когда

Теорема 5.3. Нечеткое отношение А является мультипликативно независимым тогда и только тогда, когда

Определение 5.4. Нечетким математическим термом называется конструкция из элементов е ^ (^^), і s N, связанных операциями ©, ®, Ѳ, ®, шах, min.

В [49—51] рассматриваются примеры решения уравнений с нечеткими отношениями и обычными математическими термами на основании вышеуказанных теорем.

5.3.2.    Уравнения с обычными отношениями и нечеткими математическими термами. Широкий класс задач математического программирования в нечетких условиях и анализа нечетких си-

схем предполагает необходимость решения уравнений с нечеткими термами и обычными отношениями. Поскольку семейство выпуклых нормальных нечетких чисел образует только коммутативное полукольцо, то решение уравнения с нечеткими термами возможно только при использовании разложения нечетких термов по а-уровням. Метод, описанный в [51], неизбежно приводит к нечетким нулям и в конечном счете к изменению степени истинности математических отношений.

Определение 5.5. Скобочной формой уравнения /ИД называется следующее разложение по а-уровням:

Пример: пусть цл >0, fix > О, и-с >0, /і = fxc, /2 И-а Ѳ И-.-с; тогда

Если все нормальные унимодальные числа, из которых состоят нечеткие термы ft, /2, имеют носители 5/^ ^ такие, что они не содержат одновременно положительных и отрицательных элементов, то будет справедливо следующее соотношение

Поскольку элементы скобочной формы и А являются обычными математическими термами и отношениями, то для скобочной формы будут справедливы соответствующие условия аддитивной и мультипликативной независимости, которые справедливы для любых обычных уравнений.

Таким образом, чтобы решить уравнение вида fi{x)Afi{x), необходимо привести его к виду (5.49) и решить отдельно относительно Ьх и '{х- Условием адекватности решения является выпуклость и нормальность НЧ (5.1), (5.2).

В случае L — R нечетких чисел уравнение с НЧ можно решить, получив соответствующую скобочную форму. При этом необходимо учитывать приближенный характер операций ©и © для нечетких чисел (L — й)-типа.

Условие адекватности решения в этом случае примет вид

где ах и Рл: — соответствующие коэффициенты нечеткости. Следует отметить, что разложение по а-уровням выпуклых нечетких подмножеств дает возможность производить дальнейший анализ задач с НЧ с помощью методов интервального анализа.

Методы решения нечетких уравнений часто используются как вспомогательное средство при решении различных задач принятия решения в нечеткой обстановке.

Самостоятельной областью применения нечеткой арифметики является нечеткое линейное программирование — аналог обычного линейного программирования. В [28] приводятся примеры решения задачи линейного программирования для случая нечетких коэффициентов, а также примеры решения неравенств с НЧ (L-Я)-типа.

Хорошо известны два случая применения нечеткой арифметики как самостоятельного аппарата для решения практических задач.

В первом случае решалась задача составления квартального расписания занятий в учебном заведении. Необходимость обращения к НЧ в данном случае была обусловлена отсутствием экспериментальных данных и неопределенным характером критериев оптимизации. Для решения задачи были использованы нечеткие экспертные оценки, характеризующие длительность лекционных курсов, лабораторных занятий, наличие экзаменов и т. д.

Решение задачи оптимизации расписания было получено с использованием нечеткого аналога известного алгоритма Форда и Фалкерсона вычисления максимального потока в сети. В результате было получено расписание на квартал [42].

Во втором случае решалась задача оптимизации транспортной сети города. Информация, характеризующая транспортируемость, задавалась с помощью НЧ и лингвистических переменных. Решение было получено аналогично, как и в первой задаче, с применением фортран-программы для транспортной сети Тулузы [26].