§ 5.5. Логико-лингвистическое описание сложных систем и {L—R) -аппроксимация

Применение методов теории нечетких множеств для моделирования сложных систем на основе их логико-лингвистического описания связано с необходимостью решения прямой и обратной задач для нечетких отношений. Под прямой задачей будем понимать задачу определения неизвестного значения лингвистической переменной (ЛП) с использованием известных значений ЛП, входящих в описание некоторого явления или процесса. Такое широкое понимание прямой задачи будет включать в себя также вопросы лингвистической аппроксимации и точной интерпретации расплывчатых категорий, которыми приходится оперировать при лингвистическом моделировании. В узком смыс

ле прямая задача для нечетких отношений заключается в определении нечеткого отношения по результатам композиции двух других отношений.

5.5.1.    Пример логико-лингвистического описания. Известные в настоящее время направления в лингвистическом моделировании [1, 2, 4, 9, 15, 29—31, 35, 50, 52] основаны на том, что поведение исследуемой системы описывается на естественном (или близком к естественному) языке в терминах ЛП [5, 52]. Примером такого описания может быть описание взаимозависимости гемодинамических показателей сердца, что характерно для ряда биотехнических систем. Показателями гемодинамики [13] являются частота пульса, артериальное давление, среднее венозное давление, насыщение крови кислородом, количество Ог в крови (ммоль/моль). Прогнозируемым является уровень pH (отрицательный логарифм концентрации водородных ионов в крови).

Сердечная гемодинамика может быть описана на естественном языке следующим образом: если частота пульса высокая, артериальное давление нормальное, среднее венозное давление низкое, насыщение крови кислородом невысокое, количество Ог в артериальной крови среднее, а в венозной высокое, то уровень pH не очень низкий, или иначе: если частота пульса нормальная, систолическое давление не очень низкое, дистолическое давление нормальное, среднее венозное давление около 88 мм рт. ст., насыщенность крови кислородом средняя, количество Ог в артериальной крови около 18, то уровень pH равен около 7,49 мм рт. ст., иначе, если и т. д. Каждый параметр в данном качественном описании характеризуется некоторым значением ЛП [5, 52] из множества ее значений. Например, ЛП «систолическое давление» характеризуется множеством значений: {нормальное, близкое к нормальному, выше нормального, много выше нормального, ниже нормального, много ниже нормального}. Рассмотренное выше описание гемодинамики является определенной системой причинно-следственных отношений. Следует отметить, что формально причина может быть заменена на следствие и наоборот. В дальнейшем при описании поведения систем будем называть причины входными параметрами, а следствия — выходными.

5.5.2.    Логико-лингвистическое описание систем. Пусть имеются множества словесно заданных входных параметров X = = {X,, ..., XrJ и множества словесно заданных выходных параметров Y = {Yi, ..., У„}, т. е. для ѴХ^, / = 1, т определено множество значений входных ЛП и для УУй, к = і, п определено множество значений выходных ЛП Ѵ^. Качественное описание процесса в терминах значений лингвистических переменных типа

называется схемой нечетких рассуждений. Здесь Oij^Uj Ѵі = = 1, .,biftS Fft Vi = l,...,p;

Таким образом, поведение системы характеризуется отображением Ф: С/” V”.

Значениям ЛП щ, е Uj соответствуют нечеткие подмножества Ац с функциями принадлежности е ^ (Xj), а значениям ЛП

е Fft — нечеткие подмножества с функциями принадлежности s ^ (У й), где ^(Xj) и   —множества нечетких подмножеств, определенных на базовых множествах Xj и Y^. Отображению Ф можно поставить в соответствие нечеткое отображение

которое может быть получено как нечеткое соответствие для всех \iAij S (Xj),     (Yh):

где

Такое задание нечеткого соответствия является простейшим случаем задания логической импликации [17, 18]. Рассмотренные в [19—21] импликации, не позволяют решать достаточно сложные задачи и адекватно описывать различные виды неопределенности. Нечеткое соответствие (5.56) позволяет учитывать неопределенность типа возможности. Поэтому в дальнейшем будем ориентироваться на такой способ задания логической импликации при построении нечеткого соответствия Ф.

Под нечетким выводом будем понимать процедуру определения вектора значений ЛП Ь'е F"; Ь' = (Ь^, ..Ь^)при новом наборе вектора значений входных ЛП а' = (%, ..., а'т) е С/”*. Это можно сделать, используя нечеткие подмножества (і

[О, 1] и нечеткое соответствие Ф. При этом Ъ' должно соответствовать выводимому нечеткому соответствию (ів» е ^ (У")> которое определим как

Вектор значений ЛП В' может быть найден в результате лингвистической аппроксимации нечеткого соответствия Цв'. В качестве вктора значений, ЛП аппроксимирующих (Ад/, выбирается такой вектор С ^ F", для которого значение меры сходства g функции принадлежности Цс, Цс^^(У"), с (ід' является максимальной. Реализация на ЭВМ нечеткого вывода с помощью композиционного правила (5.57), являющегося аналогом вывода, предложенного в [17—19], возможна лишь для малоразмерных моделей. Поэтому возникает задача построения эффективных алгоритмов нечеткого вывода, позволяющих решать задачи большой размерности.

5.5.3.    Построение многомерных алгоритмов нечеткого вывода (общий случай). При построении алгоритмов нечеткого вывода необходимо рассматривать два случая: когда нечеткие подмножества (Xj) и  ^ {Yk)i / = {1, ..., mj, Я = {1, ...

определены на множествах действительных чисел, т. е. Vj е/(Xj с: 5?), и когда 3j е/(Xj с^5?), т. е. существуют нечеткие подмножества, соответствующие значениям ЛП высокой степени иерархии (или структурированным лингвистическим переменным). В этом случае множества нечетких подмножеств ^{Xj) и ^{Yi) определены на множествах собственных значе- ниГі, т. е. 3/ е / (Xj А C7j) п 3/с е /і: (Уй ^ V^) [12].

Рассмотрим случай использования операции Щіп = Д для вычисления функций принадлежности нечетких соответствий.

В терминах функций принадлежности нечеткий вывод (5.57) примет вид

Данное выражение можно представить в следующем виде:

С учетом данного выражения нетрудно увидеть, что

Если^я) являются обычными значениями, т. е. = Xj е Xj cz аЯ, тогда функция принадлежности нечеткого соответствия будет определяться по формуле

5.5.4.    Представление композиционного правила вывода с помощью меры возможности. Рассмотрим композиционное правило вывода (5.57). Нетрудно видеть, что максиминная композиция Ѵ-Аіі ° ' дает значение функции принадлежности для і&Р тз.

W Aj

І е I. Следуя определению меры возможности [10], можно легко

показать [45], что

является мерой возможности того, что «а« есть aj», т. е. Vie ^Р, Ѵ/е/ определяется «возможностная» мера сходства. Согласно основным свойствам мер возможности:

Здесь выражение в левой части означает меру возможности того, что составное понятие, описываемое значениями ЛП ац, а,2, • • •, Яіт, является составным понятием, характеризуемым

значениями ЛП Яі, ^2, • • ч Таким образом, получаем

где

Нетрудно показать, что  где

Функцию принадлежности отдельных выходов алгоритма нечеткого вывода определим как проекцию нечеткого соответствия jis', В этом случае будет справедливо следующее утверждение.

Утверждение 5.2. Пусть ѴгеР, являются нормальными подмножествами, тогда выводимые нечеткие подмножества по каждой из выходных переменных определяются из условия

где

Справедливость утверждения очевидна.

5.5.5. Применение структурированных лингвистических переменных для построения алгоритмов нечеткого вывода. Как показано в п. 4, задача построения композиционного правила вывода сводится к нахождению мер возможности Розз(аЛа'). При

решении практических задач моделирования, как правило, ограничиваются 7 ± 2 значениями ЛП *.) В тех случаях, когда 3/е/.. Xj = Uj, т. е. Ац представляют собой нечеткие подмножества инструкций или алгоритмов, то можно задать нечеткие соответствия

где

такие, что Ѵг е Р, V/ е /: ((яу, а^), Kij) е Pj.

Нечеткие соответствия Pj можно определять не только через функции принадлежности, но и напрямую — экспертным путем. Последнее подтверждается рядом экспериментов по определению функций принадлежности и нечетких соответствий типа (5.64). При этом функции принадлежности определялись с помощью процедуры Саати [43].

Для функции принадлежности, получаемой с помощью метода Саати, справедливо S    = 1, 0j = (і, cardX,-}. Поэтому

функция нормировалась по формуле:

Эксперименты показывают, что нечеткие соответствия, полученные через функции принадлежности, незначительно отличаются от нечетких соответствий, построенных с помощью процедуры Саати. При этом разность функции принадлежности

для нечеткого соответствия Poss(-), определяемого через функции принадлежности и нечеткого соответствия Foss'(•), определяемого напрямую, составляет 0,02—0,05 для значений ЛП, описывающих близкие по смыслу понятия. Для мало похожих по смыслу понятий эти разности составляют 0,1—0,18 (например, очень большое и очень маленькое пульсовое давление). Пример нечеткого соответствия, построенного для ЛП «скорость прогулочной лодки» прямым экспертным методом и вычисленным через функции принадлежности, приведен в табл. 5.1 и 5.2 соответственно.

В данных таблицах 1^1 = «очень большая», 1^2= «большая»; «3= «небо.тіьшая»; 1^4= «средняя»; «маленькая», Ug= «очень маленькая». Нечеткие соответствия, получаемые с помощью

прямой экспертной процедуры, как правило, несимметричны. Несмотря на наличие значительной ошибки Ар для сильно отличающихся по смыслу понятий, нечеткие соответствия Pj, получаемые с помощью прямой экспертной процедуры, могут с успехом использоваться для построения алгоритмов нечеткого вывода.

Это связано с тем, что при нечетком логическом выводе решающий вклад в результат вывода (нечеткое соответствие    дают те состояния схемы нечетких рассуждений а,-, которые наиболее близки новому нечеткому состоянию а'. В связи с этим возникает реальная возможность использования в схеме вывода структурированных ЛН, т. е. лингвистических переменных, являющихся комбинацией других. Например, понятие площади прямоугольника характеризуется понятиями длины и ширины. Возможны более сложные структурированные ЛП.

В качестве примера рассмотрим представление структурированной ЛП 1= < комфортность рабочей среды человека — оператор), употребляемой для описания состояния окружающей среды в биотехнических системах эргатического типа. Эта лингвистическая переменная принимает значения из множества С/ = = «комфортная», 1^2=^ «относительно комфортная»,

«дискомфортная», = «экстремальная»,   «сверхэкстре-

мальная»}.

Пусть L = Wi, ІІ2, UJ; тогда нечеткие подмножества U,, задаются и ->[0, 1]. При этом элементам подмножества L будут соответствовать нечеткие подмножества

Здесь + обозначает объединение.

Таким образом, для осуществления нечеткого вывода достаточно определить ѴгеР, V/е / значения Poss (ayиспользуя нечеткие соответствия Pj. Это упрощает процедуру вывода и позволяет работать со структурированными ЛП.

5.5.6. Применение (L — і? )-аппроксимации для построения алгоритмов нечеткого вывода. Решение задач математического моделирования сложных систем предполагает необходимость оперирования большим количеством ЛП, что в свою очередь значительно усложняет реализацию алгоритмов нечеткого вывода на ЭВМ. Кроме того, хранение и ввод—вывод нечеткой информации является довольно сложной процедурой при реализации моделей на мини-ЭВМ и микропроцессорах. Поэтому существует проблема аппроксимации функций принадлежности нечетких подмножеств с целью создания эффективных вычислительных процедур. Нечеткие подмножества, которыми приходится оперировать при решении большинства практических задач, являются, как правило, унимодальными и нормальными. Одним из возможных методов аппроксимации унимодальных нормальных нечетких подмножеств яв.тіяется аппроксимация с помощью функций (L — R)- типа. В [25,27] (L — Л)-аппроксимация использовалась для упрощения вычислительных процедур с НЧ. Удобный вид представления функций принадлежности нечетких подмножеств делает возможным применение (L ~ Л)-аппроксимации в алгоритмах нечеткого вывода.

Определение 5.6. Пусть А задается (Ха(ж): Z[О, 1], ^ — множество действительных чисел;

Множества А называются нечеткими подмножествами (L — R)- типа тогда и только тогда, когда

где а — левый и правый коэффициенты нечеткости.

Пример функции принадлежности (L —й)-типа дан с интервалом толерантности \а', а"] на рис. 5.2.

Как видно из табл. 5.3, (L — Л)-представление охватывает все основные формы распределений.

Основная идея метода (L — Л)-аппроксимации заключается в переходе от выражений в терминах функций принадлежности к

выражениям с аргументами (L — й)-функций с целью получения аналитических,решений задач типа (5.62).

5.5.7. Принцип двойственности в (L — Л)-аппроксимации. Для осуществления (L — Л)-аппроксимации необходимо сделать переход к двойственной задаче, а затем, получив решение в терминах аргументов (L — Л)-функций, произвести обратный переход.

Возможность такого перехода базируется на следующем утверждении.

Утверждение 5.3. Пусть L(а:)—функция (L —Л)-типа, а: е 5?+; L“‘(г/)—обратная функция уе[0,  =

= {а:1 Ѵі/е £■ = ж)}, Е' = {г/1 уа: е ^ (L (а:) = г/)};тогда ди

стрибутивная структура = <£', Ѵ> Л) является антиизо- морфной структуре 2”^ = <5?', Д, \/>-

Доказательство утверждения базируется на свойстве антитон- пости отображения L.

Следствие 5.1. Для любой формулы S, образованной из элементов множества Е' и операций V, Д существует двойственная формула S*, образуемая из элементов множества М' и операций Д и V*

Применение (L — Л)-аппроксимации позволяет получить значительный выигрыш в случаях, когда L ^ R. Введем следующие обозначения для нечетких подмножеств А с    ^(X) (L — Л)-типа:

Операции с нечеткими подмножествами {L — Л)-типа на основании утверждения 5.3 и следствия 5.1 примут следующий вид. Пересечение: ^А, В, С с (Ха,

где

Объединение:

Декартово произведение: А с  D с (Хі,е^(7),

где (Хо(а:, г/)—функция принадлежности нечеткого отношения G, х^Х, y^Y, d{y) = {{d' — у)/£)Ѵ{{у — d")/d)\/ 0.

Основные сложности при реализации алгоритмов нечеткого вывода возникают при вычислении меры сходства значений лингвистических переменных. Применение (L — Л)-аппроксимации дает возможность получения аналитического решения при нахождении возможностной меры сходства. При этом справедливо следующее утверждение.

Утверждение 5.4. Пусть а, Ъ ^ U; U — множество значений ЛП, которому соответствует множество нечетких подмножеств (L —Л)-типа ^{Х), ЬйгЯ; а~^А, Ь^В, (Ха, ^ е (X); тогда мера возможности того, что понятие «а есть Ы определяется из условия

где а', а", Ъ', Ь", а, а, Ь, Ь — параметры функций принадлежности (L — Л)-типа (5.65) — (5.67) нечетких подмножеств А ш В.

Доказательство. Пусть а" <Ъ", тогда L(a(x)) = = L(a" (х)) ш Ь{Ь(х)) = L(b'(х)). Поскольку

то

При этом

Если Ь"<а', то /-(Ь" (а:*)) = L(a'(ж*)) =Poss(alb); при этом ^ аЬ"+ Ьа’

X* =      , а Foss (а I Ь) = L (  г-|.

Ъ + а '   ^ ^  а-ЬЬ }

Поскольку при [а', а”] Д [Ъ', Ъ"] ф 0 имеем

то

5.5.8.    Особенности приближения экспериментальных функций принадлежности функциями (L — і?)-типа. Задача приближения экспериментальных функций принадлежности (х функциями (L —й)-типа сводится к выбору одной из функций L* {L — R)~ типа из заданного множества S’, для которой мера отличия р((х, L*) минимальна.

В качестве меры может быть выбрана метрика Минковского. При этом решается задача математического программирования

где w=(a, а)е5?Х5?+; а, а — параметры (L — Л)-функции; Хі ^ X <= Я; п — количество экспериментальных точек.

Применение метрики Минковского позволяет в зависимости от г выбирать различные меры отличия экспериментальных функций от теоретических [6].

Учитывая [6], нетрудно увидеть, что при г -> <»

а при г О

Следует отметить, что выбор г следует осуществлять в зависимости от вида функций принадлежности (L — Л)-типа и особенностей методов точной интерпретации. Однако на начальном этапе разработки логико-лингвистических моделей достаточно использовать критерии с г О, г = 1, г = 2. В ряде случаев, например [3], нетрудно получить аналитические решения задачи выбора (L — Л)-функций, но на практике удобнее пользоваться одним из численных методов минимизации.

5.5.9.    Алгоритмы нечеткого вывода с применением {L — і?)- аппроксимации функций принадлежности. Вид алгоритмов нечеткого вывода в случае (L — Л)-аппроксимации определяется как видом (L—Л)-функции, так и сочетанием этих функций для различных г, /, к.

Обозначим функции принадлежности нечетких подмножеств ИАу, Ис,-е 5^ (X),     как  = •t'i, a для

— как Lf^. Рассмотрим наиболее характерные

случаи.

1) ѴгеР V/e/(Ly = L;=L), VieP, y/k^K{L% = L), тогда с учетом утверждения 5.3 и следствия 5.1 получаем

где Ci(Xj), an(Xj), Ь»(г/*) — выражения для аргументов функций принадлежности (L — Л)-типа нечетких подмножеств Aj, Aij, Вц, в соответствии с обозначениями (5.65) — (5.67). Используя утверждение 5.4, можно показать, что

где

a'ij, a'ij, Cj, c'j, яу, a у, с,-, с, —параметры функций принадлежности нечетких подмножеств Aij, Cj — соответственно.

2)   Пусть функции принадлежности нечетких подмножеств Cj — аппроксимируются {L — Л)-функциями одного вида, а нечеткие подмножества Ьін — {Ь — Л)-функциями другого вида, т, е.

В этом случае

3)   Если Ѵг е Р (Ly = L- = L),   {ь\^ = І^, то

В тех случаях, когда выходные параметры являются обычными, процедура нечеткого вывода с {L — Л)-аппроксимацией значительно упрощается. Аналитическое решение задач, аналогичных (5.68) — (5.71) примет вид:

Таким образом, вычисление функций принадлежности (Хв' можно осуществлять, используя аналитические выражения для аргументов {L — Л)-функций. Применение (L — Д)-аппроксима-

ции позволяет сравнительно просто реализовать алгоритмы нечеткого вывода на ЭВМ.

Решение реальных задач моделирования и управления сопряжено с необходимостью точной интерпретации и/или лингвистической аппроксимации выводимых нечетких соответствий.