§ 5.6. Методы точной интерпретации

Для решения задач формирования точного представления нечетких соответствий при моделировании стратегий управления сложными системами и задач прогнозирования при наличии нечеткой информации необходимо определять точное значение выводимой переменной по виду распределения нечеткости или выводимой функции принадлежности. Это необходимо прежде всего в задачах построения лингвистических регуляторов [36, 37, 47], в моделях функционирования биотехнических систем и т. д.

Основными видами точной интерпретации являются; полная интерпретация, минимаксная, вероятностная, комбинированная и интерпретация по максимуму функции принадлежности.

5.6.1. Полная интерпретация. Основная идея полной интерпретации функций принадлежности, выполняемых с помощью алгоритмов, описанных ранее, заключается в определении «центра тяжести» нечеткого соответствия В'.

Пусть К — множество выходов, К. В этом случае точное значение для q-то выхода ijq^YqC. Я определяется по формуле

где

Если У, являются счетными множествами, тогда

где

Очевидно, что определение yq до формулам (5.74) —(5.78) можно производить, используя численные методы интегрирования или метод Монте-Карло для оценки интегралов типа (5.74), в случае системы с многими выходами. Для I — 1, удобно пользоваться формулами (5.76) —(5.78). В ряде важных для практики случаев можно получить аналитическое решение задачи (5.74).

5.6.2.    Вероятностная интерпретация. Идея вероятностной интерпретации заключается в том, что вместо функции принадлежности нечеткого соответствия (Хв», для определения г/, используется характеристическая функция нечеткого соответствия и-сре- за (В е [О, 1]. При этом

где % (у) — характеристическая функция нечеткого соответствия <о-среза Л'(со) = {г/1 цв'(у)    Вычисление Уд с помощью

(5.79) в общем виде является весьма громоздкой задачей. Однако существует возможность построения алгоритма, позволяющего упростить нечеткий вывод. Данный алгоритм базируется на следующем утверждении.

Утверждение 5.5. Пусть нечеткий вывод осуществляется с помощью выражения (5.57); тогда для произвольных нечетких подмножеств

где а,і((в), a'j{(x)), Ь,,.(со)—подмножества и-среза для Доказательство. Поскольку

то отношение (В-среза для В определяется из условия В'(о)) = = П aj (co)j X     (co)j, т. e. %{y) = 1, если Зг e

e P (V/ e I (ay (a) f] a'j((o) Ф 0) (Vk ^ К {у^ s 6^ (®)))- Утверждение доказано.

5.6.3.    Минимаксная и комбинированная интерпретация. В тех

случаях, когда у^ определяется с помощью минимаксной интерпретации.

При минимаксной интерпретации можно получить, что

где

При комбинировании интерпретации %{у) определяется с по- мошью выражения (5.81) при со = 7 V щ; е [О, 1]. На прак-

ШР

тике со = 0,5 н- 0,8 и окончательно отбирается при настройке алгоритмов нечеткого вывода.

В частных случаях входные или выходные параметры могут быть обычными. В этом случае алгоритмы нечеткого вывода, учитывающие вид интерпретации, могут значительно упрощаться. Пусть в схеме нечетких рассуждений (5.53) Ѵ/е/:

тогда при вероятностной интерпретации У к е К;  (У^),

если У/к^К: =4:

где Ѳ = {і \ V/ е I (ау е а, (со))]. При этом

Авалогично определяется %{у), если

Введем обозначения подмножеств {L — і?)-типа со-среза аналогично (5.67). При этом

где  (X);

La ^ —обратные функции для La и Ra.

Следствие 5.2 (из утверждения 5.4). Пусть нечеткий вывод оцределяется выражением (5.62), тогда в случае (L — R)- аппроксимации

Утверждение 5.6. Пусть Ѵг е Р, j ^ I:  ^ (Х^),

VА е (ів.^ е 5^ (Fft) — нечеткие подмножества (Ь —Л)-типа; тогда если нечеткий вывод определяется выражением (5.69), то при минимаксной интерпретации

где

Доказательство. Поскольку ю = sup (Хв' (у) и Vie

ySYl

s Р/ sup Д (Хв-. (г/ft) = 1\, то вследствие того, что supLf Ѵ р.Л =

(уеуі fteK    iep Ijez «J

= L ('inf \/  1, из утверждения 5.4 и следствия 5.2 следует,

\isPiei

что Ѵ/е/(с;(ю)Паі;(®) = 0)- Если ѴРіі< л V Pij- и для

іеі ” isp ;ei ѲФ 0 отношение со-среза для В': В' (со) = [J х (со), где

ieehsK

Очевидно, что L~4L{x))= х.

Утверждение доказано.

Следствие 5,3 (из утверждения 5.5). Пусть нечеткий вывод определяется выражением (5.69), тогда при минимаксной интерпретации результаты вывода не зависят от вида {L — R)- (|)ункции.

5.6.4, Интерпретация по максимуму функции принадлежности. При построении алгоритмов нечеткого вывода можно использовать интерпретацию по максимуму функций принадлежности нечеткого соответствия (Хв'. Это особенно удобно делать, когда

Z = 1, 2, 3. При этом

Аналитическое решение задачи (5.84) в обш;ем виде затруднительно. Поэтому на практике лучше использовать один из методов нелинейного программирования.

Выбор конкретного вида интерпретации зависит от функции потерь и, в общем случае, является задачей многокритериального принятия решения. В ряде случаев для оценки качества интерпретации можно воспользоваться метрикой Минковского [6].