§ 6.2. Многозначные н нечеткозначпая логики

6.2.1.    Многозначные логики. В зависимости от способов введения операций объединения и пересечения НМ существует три основных теории нечетких множеств (см. табл. 6.1). Если

(X)— множество нечетких подмножеств X с обычными максп- минными операциями объединения (U) и пересечения (П), то

(X), рассматриваемое как множество отображений из X в [0, 1], является дистрибутивной решеткой с псевдодополнением (8Г (X), U, П, ~) (следуя, в основном, обозначениям [15]). Можно взять в качестве объединения и пересечения вероятностные операторы (алгебраические операции в табл. 6.1). Относительно этих операторов и обычного псевдодополнения алгебра (#” (X), +, —) образует только недистрибутивную решетку с псевдодополнением. И, наконец, используя операторы ограниченной суммы (U)

и произведения (П) и обычное псевдодополнение, мы получим недистрибутивную решетку с дополнением   U, П, ").

Отметим, что Ѵ^, В {Х)\ А{\В^А-В^А[\В и Ли

и А + В^А и5.

Каждой пз этих теорий соответствует многозначная логика, связки для которой приведены в табл. 6.1, где Т(Р) = р и T(Q)=q.

Во всех трех случаях значения отрицания вычисляются по формуле Г(ПР) = 1 — Т (Р), значения импликации — по формуле Т(Р ^ Q) = Т{~~\Р\/Q), а значения эквивалентности — по формуле T{P<->Q) = T[{P-^Q)/\{Q-^P)].

Связки ех, I и і всегда выражаются как отрицания Л и V соответственно; тавтология и противоречие определены как

Т(Р) = Т{РѴ ~\Р), Т{ 'Р) = Т {Р /\~]Р). В более общем виде

В соответствии с операциями из теории нечетких множеств в и, П, ”) дизъюнкция и конъюнкция определяются как

и являются коммутативными, ассоциативными, идемпотентными и дистрибутивными относительно друг друга, но не удовлетворяют закону исключенного третьего в следующем смысле:

Для логики, связанной с U, П, —), операции опреде

ляются как

п являются коммутативными и ассоциативными, но не идемпо- тентными и не дистрибутивными друг относительно друга, хотя и удовлетворяют закону исключенного третьего.

В логике, связанной с (X), 4-, •, —)> которую часто называют вероятностной логикой, операции

являются коммутативными, ассоциативными, но не идемпотент- ны и не дистрибутивны относительно друг друга.

Альтернативный подход к описанному способу введения нечетких логик предлон?ен в [33], где понятие нечеткого множества основано на понятии нечеткой границы между классами. Связки НЕТ, ИЛИ, а также импликация и отрицание определяются в терминах вероятности неверной классификации при распознавании. Их обычные свойства при этом выполняются. Другие определения нечетких множеств могут быть сведены к этому случаю с помощью наложения соответствующих ограничений на функции распределения границ.

Алгебраические свойства нечетких логик, построенных на основе многозначных, были исследованы также в [9, 54, 56].

6.2.2. Нечеткозначная логика. В [5] введно понятие лингвистической переменной, которая характеризуется набором (X, Т(Х), и, G, М), в котором X — название переменной, Т (X) обозначает терм-множество переменной X, т. е. множество лингвистических значений переменной X, причем каждое из таких значений является нечеткой переменной X со значениями из универсального мнон^ества U с базовой переменной и, G — синтаксическое правило (имеющее обычно форму грамматики), порождающее названия X значений переменной X, а М — семантическое правило, которое ставит в соответствие каждой нечеткой переменной ее смысл М{Х), т. е. нечеткое подмножество М{Х) универсального множества U. Конкретное название X, порожденное синтаксическим правилом G, называется термом.

Трактовка истинности как лингвистической переменной приводит к нечеткой логике со значениями «истинный», «очень истин-

ный», «совершенно истинный», «более или менее истинный», «не очень истинный», «ложный» и т. д., т. е. к нечеткозначной логике, на которой основана теория приближенных рассуждений [56]. На рис. 6.2 [14] приведен пример лингвистических значений

истинности: «истинно» с функцией принадлежности }іи = = S(a, (а+1)/2, 1), ае[0, 1], «ложно» = ant («истинно») и «сомнительно» с }Хс = iS'(P, (^ + 0,5)/ /2, 0,5) на [О, 0,5] и = = ant(5(p, (р + 0,5)/2, 0,5)) на [0,5, 1], р S [О, 0,5]. Определение б'-функции содержится в гл. 4.

Вообще говоря, мы можем рассмотреть логическую систему значений истинности, которая образует некоторую решетку L (в частности, полную решетку, полную дистрибутивную решетку и т. д.) [32, 49]. В этом случае L-значная логика может быть рассмотрена как система S’ = = {Р, L, Т], где Р — множество высказываний, L — решетка и Т — отображение

которое присваивает каждому высказыванию р^Р его значение истинности T{p)^L. Истинностное отображение Т должно удовлетворять следующим свойствам:

а также

если в L определена операция дополнения.

Для лингвистических переменных в качестве множества истинностных значений использовано L = 9~ ([О, 1]) = {/: [О, 1]

[О, 1]}. Таким образом, истинностное отображение запишется в виде Т: Р-^3^([0, 1]), и аксиомы а), б), в) будут выполняться.

В [12] в качестве значений истинности для нечеткозначной логики предложено использовать нечеткие числа на [0,1] (см. гл. 5), которые тождественны нечетким множествам с выпуклыми, нормализованными и кусочно-непрерывными функциями принадлежности.

Нечеткозпачная логика описывается теориеіі нечетких множеств типа 2, функции принадлежности которых являются нечеткими числами (см. гл. 1). Семантические правила для вы-

числепия функций истинности для отрицания, конъюнкции и дизъюнкции запишутся следующим образом;

где Ті{Р) — нечеткое число на [0,1], Ѳ, min и max — расширенные операции отрицания, минимума и максимума соответственно. Приведем определение операций для тах(Р, и min(P, через их функции принадлежности;

Аналогично, с помощью принципа обобщения, получаются семантические правила для других логических связок (см. табл. 6.1). Так, для связок логики (^(Х), U, П, “) имеют место следующие формулы:

а)   для импликации

б)   для эквивалентности

в)   для исключающего «или»

г)   для тавтологии

д)   для противоречия

Например, если Р «сомнительно», а Q «истинно», то Тг{Р-*- -^^)=тах (ant («сомнительно»), «истинно») — «истинно»; T^{Q^P) = max (ant «истинно», «сомнительно») «сомнительно», Tz{P Q)= «сомнительно».

Для связок    и, П, -) получаются следующие семан

тические правила; а) импликация

б)   эквивалентность

в)   исключающее «плп»

г)   тавтология

д)   противоречие

Например, если Р «сомнительно», а Q «истинно^ то Т^ІР ^ -^^) = min(l', ant («сомнительно») ® «истинно») = min (1, «сомнительно»® «истинно»). Как только а+^^1 для }і, то Ті{Р Q) = = 1, однако в общем случае Гг(РС^) «истинно», что совпадает с результатом для обычной импликации.

Для расширенных операций max и min выполняются свойства коммутативности, ассоциативности, идемпотентности, взаимной дистрибутивности, а также законы поглощения и Де Моргана [43].