§ 6.3. Теория приближенных рассуждеипіі

Под приблингенпыми рассуждениями [59] понимается процесс, при котором из печетких посылок получаются некоторые следствия, B03M0JKH0, тоже нечеткие. Приближенные рассуждения лежат в основе способности человека понимать естественный язык, разбирать почерк, играть в игры, требующие умственных усилий, в общем, принимать решения в слониной и неполностью определенной среде. Эта способность рассуждать в качественных, неточных терминах отличает интеллект человека от интеллекта вычислительной машины.

В [5, 57—61] дается общая схема методов приближенных рас- суждений в нечеткой логике. В [57, 59] вводится понятие распределения возможностей для представления значений высказываний естественного языка, на основании которого разрабатывается ПРУФ —язык представления значений для естественных языков. ПРУФ использует нечеткую логику с лингвистическими значениями истинности, которые являются нечеткими подмножествами единичного интервала. Кванторам также разрешается принимать значения типа: «много», «мало», «несколько». Этим кванторам дается конкретная интерпретация, что позволяет транслировать в ПРУФ выражения тина: «Многие высокие мужчины много выше, чем большинство мужчин».

Будем говорить, что нечеткое высказывание вида  есть

F», где X — переменная, принимающая значение в универсуме

и ж F — нечеткое подмножество U, индуцирует распределение возможности пх равное F, т. е. Ux = F. Более явно, если u^U ти fXr: С/ [О, 1]— функция принадлежности F, тогда возможность того, что Х = и, задаваемая высказыванием «Z есть F», задается

где poss {X = м} — сокращение высказывания «возможность того, что X может принимать значение и». Мера возможности нечеткого множества А определяется как

Для проведения приближенных рассуждений с утверждениями типа «X есть А», необходимы трансляционные правила, которые моделируют их как распределение возможностей, необходимы правила модификации, позволяющие преобразовывать эти распределения в другие, семантически эквивалентные распределения возможностей и необходимы правила вывода, позволяющие выводить новые распределения возможностей.

6.3.1. Трансляционные правила. Правила трансляции из естественного языка в ПРУФ делятся на четыре основных типа; для выражений, содержащих модификаторы (тип 1); для выражений, содержащих композицию (тип 2); для выражений с кванторами (тип 3); для выражений, содержащих оценки (тип 4).

Тип 1. Основным правилом этого типа является правило модификации. Пусть выражение <Ф = ІѴ есть F» переводится в выражение присваивания возможности     .?„) = -?’• Тогда

трансляцйя модифицированного выражения «p'^^N есть mF» задается выражением;

где т — модификатор такой, как «не», «очень», «примерно», «совсем» и т. д., F+ — модификация F, индуцированная т.

Например, Лиза «очень молода» Явозраст (Лиза) = («Моло- дaя»)^

Тип 2. Правила типа 2 задают распределение возможности для выражений вида р = q * г, где * обозначает операцию композиции, например, конъюнкцию («И»), дизъюнкцию («ИЛИ»), импликацию («ЕСЛИ, ..., ТО») и т. д.

При предположепии, что правила композиции невзаимодействующие, правила трансляции типа 2 запишутся следующим образом;

если

тогда

или Вг) если чМ есть Fi», то

где F иС —нечеткпе подмножества   X ... X С/„ и Ѵ =

= F, Х...ХѴп соответственно; F' и G цилиндрические расширения F' и G, X, +, ® — декартово произведение, объединение и ограниченная сумма соответственно (см. табл. 1.1).

Тип 3. Правила типа 3 осуществляют трансляцию в распределения возможности высказываний «QN есть F», где Q — нечеткий квантор (например «большинство», «много», «несколько», «некоторые»). Q обычно является нечетким множеством па [О, 1] и обозначает некоторую пропорцию.

Более конкретно, предположив для простоты, что N — обычное множество, распишем подробнее правило «N есть F Лх — = F». Если С/— континуум, то «QN есть F    = Q». Что

влечет более явное правило

где p{u)du — пропорция тех Х-ов, величины которых лежат в интервале [w, dii], л (р) — возможность р; |Iq и — функции принадлежности Q я F соответственно,

является аддитивной мерой F, которая может быть рассмотрена как непрерывный аналог пропорции элементов из U в F.

В качестве простого примера, если «большинство» и «высокий» определим следующим образом:

/201

то «Большинство мужчпн высокие»-^ л (р) = -S | р (м) 5 (м; 160,

\ о

170, 180) йм; 0,5, 0,7, 0,9 , где р(м)йи — пропорціія мужчин,

/

чей рост (в см) лежит в отрезке \и, u + du\ Таким образом, предложение «Большинство мужчин высокие» индуцирует распределение возможностей функции плотности распределения роста р, которая записана через 5-функцию. Здесь ^-функция является стандартизованной функцией принадлежности с настраиваемыми параметрами (см. также гл. 4):

Тип 4. Правила этого типа в свою очередь подразделяются на три группы: правила для оценок истинности, правила для оценок вероятности и правила для оценок возможности. Рассмотрим отдельно каждую из групп трансляционных правил типа 4.

Правила для оценок истинности. Пусть р — высказывание в виде «р= N есть F» и пусть q — оценка истинности p<s.q^N есть F есть т», где т — лингвистическое значение истинности, q семантически эквивалентно высказыванию

где F, G ш X связаны т = |Xf(G).

Это уравнение утверждает, что т есть образ G при отображении (Xf. Следовательно, выражение для функции принадлежности G в терминах т и F задается формулой:

Используя этот результат, правило для оценок истинности запишется:

то

где

В частности, если т — единичное значение истинности, т. е.

где

тогда

Правило для оценок вероятности. Пусть р — высказывание и пусть q — версия р с вероятпостноіі оценкой = N есть F есть к», где К — лингвистическое значение вероятности

типа «вероятно», «очень вероятно», «не очень вероятно» и т. д. Предположим, что q семантически эквивалентно высказыванию «ргоЬ {Л^ есть F) есть Я», в котором p = N есть F интерпретируется как нечеткое событие. Более конкретно, пусть p{u)du — вероятность того, что X е [и, м + du], где X = Х (N). Тогда

и, следовательно,

Это уравнение дает основание для следующей формулировки правила для вероятностных оценок.

Если

то

или, более явно

где Jt(p(-)) — возможность плотности распределения вероятности Рі)-

Правила для оценок возможности. Будем рассматривать выражения вида «q = N есть F есть w», где w — лингвистическое значение возможности типа «очень возможно», «почти невозможно» и т. д., где каждая величина представляет нечеткое подмножество единичного интервала. По аналогии с ип- терпретациеіі высказываний с вероятностными оценками это может быть интерпретировано, как

откуда следует

Теперь предположим, что мы хотим найти нечеткое множество G такое, что «N есть F есть w -^ N есть G». Тогда из определения меры возможности имеем

и, следовательно.

где |ім — функция принадлежности w. Заметим, что это — аналог трансляционного правила для высказываний с вероятностными оценками.

6.3.2.    Правила модификации. Если Р т Q два высказывания с распределениями возможностей Лр и Пд, тогда Р я Q называются семантически эквивалентными, что обозначается Р Q, тогда и только тогда, когда Лр = Лд. Говорят, что Р семантически влечет Q, что обозначается Р Q, тогда н только тогда, когда

Яр Е Яд.

Сформулируем общее правило модификации, обобщающее правило модификации для простых высказываний и применимое к высказываниям, полученным с помощью правил типа 1—4.

Общее правило модификации: если т — модификатор и Р — высказывание, то тР семантически эквивалентно высказыванию, которое получается в результате применения тп к распределению возможностей, индуцированному Р.

Для простых высказываний вида

правило совпадает с трансляционным правилом типа 2. Например, для т = «не», іітА = 1 — |д,а.

Для сложных высказываний правило записывается:

Например, «очень [X есть А я Y есть В)»<=^ ^Х есть очень А я Y есть очень 5».

Для высказываний с кванторами правило запишется

Например, можно положить М=«не». Эта формула обобщает стандартное правило отрицания в исчислении предикатов первого порядка ~]{Ух)Р (х) (За;) П -Р (х).

Для высказываний с оценками, например, с оценкой истинности, правило запишется

Например, для т=«не», т = «истина» получим не [X есть А есть пстинно) ^ X есть А не есть пстипно.

6.3.3.    Правила вывода. Основными правилами вывода в нечеткой логике являются принцип проекции, принцип сужения (конъюнкции) н принцип следования. Объединение двух первых принципов ведет к обобщенному modus ponens.

Принцип проекции. Пусть р — нечеткое высказывание, которое транслируется в распределение возможностей

Пусть Z(S) — переменная, составленная из составляющих переменной X = (Xj, ...,Х„) с помощью подпоследовательности ин-

дексов S = {ii,    последовательности (1, ..n), X(S) =

=    Пусть     — частичное распределение воз

можности Z(S), т. е.    где  ...XU^,

а Ui, i = I, п — область рассуждения, связанная с X,-.

Проекция F на U^s) определяется функцией распределения возможностей:

где =     ]'т)— последовательность индексов, дополни

тельная к 5 и |д,г — функция принадлежности F.

Пусть q — обратная трансляция уравнения присваивания возможности:

Тогда принцип проекции утверждает, что g может быть выведено из р.

Для п = 2 мы получаем р -*■ Ліх,у) = GX Н я ш р мы можем вывести q и г, где

Например, если <Ф = Ваня высокий и толстый», тогда из р можно вывести «д Ваня есть высокий» и «г = Ваня есть толстый».

Принцип сужения (конъюнкции). Пусть р — нечеткое высказывание, трансляция которого выражается:

Тогда из р мы можем вывести г, где г — обратная трансляция сужения: т. е.

где X(S) — подпеременная X, G — цилиндрическое расширение GcU и

обозначает ге-мерное распределение возможностей, получающееся сужением X^s) на G.

Принцип сужения является частным случаем более общего принципа конъюнкции.

Предположим, что

где Уі, ..., 7ft — переменные, входящие в и я’, Ui, Vj я Wr— области рассуждения, связанные с Хі, Y, ш Zr. Пусть 5' — наименьшее декартово произведение Ui, Vj и Wt, содержащее два

рекартовых произведения Fj X ... X Fj X U^+i X .. .X U„ ^ F, X ... .. X Fs X PFft+i X ... X Wn, и пусть F и G — цилиндрические расширения F и G в S. Тогда из и g мы можем вывести г, или, в схематической форме

и

Принцип следования. Говоря нестрого, принцип следования утверждает, что для любого нечеткого высказывания р мы можем вывести нечеткое высказыванпе д, если распределение возможностей, индуцированное р, содержится в распределении возможностей, индуцированном д. Это можно записать схематически

Например, из «р=Х очень большой» мы можем вывести «д большой».

6.3.4. Композиционное правило вывода. Сформулированные выше принципы могут использоваться в различных комбинациях. Наиболее эффективной комбинацией является последовательное применение принципа сужения (конъюнкции) и принципа проекции. Это правило называется композиционным правилом вывода [5]. Композиционное правило вывода включает, как частный случай, обобщение правила modus ponens.

Удобно представлять композиционное правило вывода в следующей форме

где X, Y 11 Z принимают значения в U, V тз. W соответственно, F — нечеткое подмножество UXV, G — нечеткое подмножество VXW и F ° G — композиция F ш G, определяемая формулой:

где и^и, у е F, W и и |Ig — функции принадлежности F я G соответственно.

Важный частный случай композиционного правила вывода получается, когда р и q имеют вид «р= X есть F»,   если X есть G, то F есть Я». Для этого случая из композиционного пра-

вила вывода и правила типа 2(ві) получаем композиционный modus ponens

который может рассматриваться как классический modus ponens, когда F, G а II являются четкими я F = О.

Рассмотрим простой пример использования композиционного правила вывода [59]. Пусть «р= X маленький», «д= X и Y приблизительно равны», где «маленький» и «приблизительно равны» определяются функциями принадлежности: «маленький» == = 111+0,612 + 0,213; «приблизительно равны» = 1|[(1, 1) + + (2, 2) + (3, 3) + (4, 4)] + 0,51[(1, 2) + (2, 1) + (2, 3) + (3, 2) + + (3, 4)+ (4, 3)].

В терминах этих множеств трансляции р и q выражаются в виде

и тогда яз р я q можно вывести г, где

Композиция «маленький» и «приблизительно равны» вычисляется с помощью вычисления maxmin — композиции матриц отношений этих нечетких подмножеств. Получаем

т. е.

и после обратной трансляции получаем лингвистическую аппроксимацию г=У «более или менее маленький»Лг = 111 + + 0,612 + 0,513 + 0,214.

Вышеприведенный пример иллюстрирует последовательность вычислений, необходимых при использовании композиционного правила вывода для конечных X в Y. Более подробное обсуждение практического применения композиционного правила вывода для построения нечетких логических регуляторов можно найти в [25—27, 34, 35, 37, 55], а также в гл. 8. Критический анализ приведенного подхода содержится, например, в [18].

6.3.5. Вывод на универсальной шкале. Один из вариантов нечеткого вывода с использованием правила тина modus ponens

приведен в [4, 7]. Рассматриваются правила вида

где У\ — степень уверенности в факте d — степень уверенности в факте G.

Правило вывода используется в сочетании с преобразованием исходной лингвистическоіі информации на так называемую универсальную шкалу. Преобразование является монотонным отображением пространства рассуждений U в отрезок [О, 1]:

которое индуцирует преобразование соответствующих лингвистических понятий, заданных функциями принадлежности |іа(м), и^и. Таким образом, универсальная шкала задает модель вывода, инвариантную для ряда однородных семантических ситуаций.

Похожая конструкция может быть использована в моделях рассуждения с нечеткой информацией, использующих отношение моделирования.

В этих моделях с помощью нечеткого преобразования R'. W -*■

М, где W ш М — пространства состояний внешней среды и модели соответственно, осуществляется отображение в нечеткую универсальную лингвистическую шкалу. При таком преобразовании можно говорить, что пространство М, которое, как правило, является терм-множеством какой-либо лингвистической переменной [5], также будет являться семантически инвариантным пространством для ряда однородных ситуаций, а алгебра расширенных операций над функциями принадлежности лингвистических переменных на W изоморфна алгебре расширенных функций па М, индуцированной преобразованием R [1], [2]. Обычно такой алгебры бывает достаточно для задания некоторой псевдофизической логики рассуждений [3, 6].