§ 6.4. Анализ методов приближенных рассуждений

6.4.1, Методы рассуждений на основе modus ponens. В работах [17, 36, 40, 58—60] был предложен метод рассуждений, в котором посылки являются нечеткими понятиями. Общую схему этого так называемого условного нечеткого вывода запишем в следующем виде:

Антецедент: если х есть А, го у есть В

Сукцедент: х есть А'

где X ж у — имена объектов, А, А', В, В' — обозначения нечетких подмножеств областей рассуждения U, U, V ж V соответственно.

Пример такого типа вывода следующий:

Антецедент: если слива красная, то слива спелая

Сукцедент: эта слива очень красная

Следствие: эта слива очень спелая

Эта форма вывода может быть рассмотрена как обобщенный modus ponens, который сводится к modus ponens при А' = А и В' = В.

Возможна также следующая форма вывода, содержащая нечеткое условное высказывание

Антецедент: если х есть А, то у есть В

Сукцедент: у есть В'

Следствие: х есть А'

Этот вывод может быть рассмотрен, как обобщенный modus tollens, который сводится к обычному modus tollens при «В' = = не В» и «Л' = не А». Антецедент в виде «если х есть А, то у есть В» в выводе может представлять некоторое соответствие между А ж В. С приведенной точки зрения предложены следующие методы для представления этого условного предложения.

Пусть А ж В — нечеткие множества в U и V соответственно, представленные

и пусть X, и, П, Пи Ф—декартово произведение, объединение, пересечение, дополнение и ограниченная сумма для нечетких множеств соответственно. Перечислим нечеткие отношения на С/ X F, которые могут быть получены из нечеткого условного высказывания: «Если х есть А, то у есть В». Нечеткие отношения Вт и Ва былп предложены в [58], В^ в [36, 38] н В„ Bg, Bsg, Bgg, Rg и Rss — B [39, 41, 42]. Соответствующие выражения имеют вид

где

где

ѵ),

и, ѵ).

в [44] вводится ряд новых отношений для высказывания «Если X есть А, то у есть В» с помощью использования правил импликации для многозначных систем

где

где

где

где

где

В обобщенном modus ponens следствие В' в следствии может быть выведено из антецедента и сукцедента, используя maxmin композицию {°) нечеткого множества А' и нечеткого отношения, полученного в одном из правил. Например,

Аналогично

Точно так же в обобщенном правиле modus tollens следствие А' получается в результате max min композиции отношения и нечеткого множества В'-.

A'r, = RmoB' = [{А X Л) и (1 Л X t/)] о В\

X = о Л' = [(П л X F) ф (С/ X Л)] о В\

в [39, 41, 42, 44, 45] сравниваются методы нечетких рассуждений, использующие перечисленные типы нечетких отношений в правилах обобщенного modus ponens и modus tollens. При этом рассматриваются следствия, получаемые в расширенном modus ponens в результате применения к нечеткому множеству А нечеткого отношения:

Для расширенного modus tollens вычисляются значения следствий Ат, А'г, ... для композиции нечеткого множества В' и отношения для следующих значений В':

Следствия, полученные всеми методами нечеткого рассуждения, сведены в табл. 6.2 (обобшенный modus ponens) и табл. 6.3 (обобщенный modus tollens), где вместо Цв(у) и Цд(и) пишутся

Цв и |Хд.

Используя табл. 6.2 и 6.3, мы рассмотрим простой пример нечеткого рассуждения [44]. Отношения между А' в сукцеденте и В' в следствии в обобщенном modus ponens, совпадающие с нашей интуицией, представлены в виде нечеткого условного вывода в табл. 6.4. Аналогично, отношения между В' в сукцеденте в А' в следствии в обобщенном modus tollens, которым они должны удовлетворять, представлены в табл. 6.5.

Отношение I в табл. 6.4 соответствует modus ponens. Отношение П-2 имеет следствие, несколько отличное от отношения II-1, но в случае отсутствия сильной причинной связи между «х есть Л» и «у есть В» в высказывании «Если х еоть А, то у есть В» выполнение отношения П-2 допускается. В отношении ІѴ-1 содержится утверждение, что «Если х не есть Л, то из антецедента

нельзя получить никакой информации об г/». Выполнение отношения ІѴ-2 требует, чтобы нечеткое утверждение «Если х есть А, тогда у есть Ві> неявно подразумевало высказывание «Если х есть Л, тогда у есть Л, иначе у не есть В», и мы легко можем

представить себе реальную ситуацию, когда это отношение выполняется. Отношение V соответствует modus tollens и отношение ѴІІІ аналогично отношению IV. В табл. 6.6 удовлетворение (0) Или неудовлетворение (X) каждому критерию в табл. 6.4 и 6.5 для каждого метода проверялось с помощью использования значений следствия в табл. 6.2 и 6.3.

 

На основании табл. 6.6 делается вывод [39], [44], что методы Rm и Ra не подходят для нечеткого рассуждения ни в случае обобщенного modus ponens, ни в случае обобщенного modus tollens, так как они не удовлетворяют критериям, которые выглядят вполне разумными. R^ является неплохим методом, а Rg, R^ и и — вполне удовлетворительными. Новые методы Нь, ...

Л□,основанные на использовании импликаций многозначных логик, являются не очень хорошими.

6.4.2. Свойства нечеткой импликации. В [10] рассматривается аксиоматический подход к импликации, которая определяется как нечеткое бинарное отношение на истинностном пространстве и является нечетким обобшением таблицы импликации для двухзначной логики. Вводятся следующие 4 аксиомы, постулирующие свойства импликации, отвечающие интуитивному представлению о природе нечеткого вывода.

Импликацией называется бинарное отношение на истинностном пространстве /^^([0, 1] X [О, 1]), определяющее свойство импликации Р Q между нечеткими высказываниями Р ж Q.

Аксиома 1. 1) Если значение функции истинности Р равно т т s 9~[0, 1], тогда истинностное значение вывода modus ponens, ое ^[0, 1], задается а = т » /.

2) Есяи значение функции истинности Q равно т т^^([0,1]), тогда истинностное значение вывода modus tollens задается Q = = 1 ° X, где “ обозначает max min композицию.

Аксиома 2. Истинность вывода должна быть не меньше истинности исходного утверждения, а именно

1)   для вывода modus ponens а = т» /,

2)   для вывода modus tollens Q = / ° т

Назовем истинностной любую функцию истинности, монотонно возрастающую до единицы и ложностной — любую функцию, монотонно убывающей от единичного значения, причем при всех значениях принадлежности больших нуля монотонность строгая.

Аксиома 3. Если функция принадлежности м-іСл» определяет отношение импликации /, то:

1)   для постоянного т] I должно являться истинностной функцией на X е [О, Г]] и

2)   для постоянного X I должно являться ложностной функцией на Т1 е [X, 1].

Аксиома 4. Отношение импликации должно быть симметрично относительно выводов modus ponens и modus tollens,

т. е.

Легко можно указать ряд классов импликаций, удовлетворяющих аксиомам 1—4: например, отношения импликации, основанные на правиле импликации Лукасевича, где

В частности, класс Si = {й^, где

к — любое действительное число большее О и класс Sr = где

где і — любое действительное число, большее 0.

Беря за основу отношениеможно

получить класс Ез = где

/ — любое конечное неотрицательное действительное число. Эти или другие возможные классы импликации выбираются, исходя из характера решаемой задачи.

Довольно большое число операторов импликации, основанных на многозначных логиках, рассматривается в [И]. С помощью операторов импликации вводится новый класс композиции отношений типа

где — оператор нечеткой импликации.

Меры близости между различными типами импликаций исследовались в [51].

6.4.3. Применение приближенных рассуждений в прикладных задачах. Одной из основных областей применения теории приближенных рассуждений и композиционных правил вывода являются нечеткие лингвистические регуляторы (см. гл. 8), [25—27], [34— 38, 55]. В частности, в [38] проведено сравнение четырех типов импликации, используемых при управлении работой парового котла с помощью лингвистических правил, а именно

Импликация 1 удобна тем, что сохраняет ширину значений функций принадлежности правил и позволяет выделить каждое правило и процесс его изменения даже из информации в табличной форме. Среди недостатков этого метода вывода можно отметить коммутативность, отсутствие разницы между выражениями типа (А/\В)~*-С и А-*-(В-*-С) и невозможность использовать связку ИЛИ вместо И для интерпретации связки ИНАЧЕ для получения протокола применения правил:

Правило 1, ИНАЧЕ Правило 2, ИНАЧЕ ...

Другие типы импликаций лишены этого недостатка за счет того, что каждому правилу нельзя сопоставить его область влияния. Например, арифметические связки в операции 3 приводят к получению новых значений функций принадлежности и требуют некоторой аппроксимации.

Импликация 4 лишена всех указанных недостатков и является наиболее «человеческой» по природе, так как если антецедент А дает следствие В, то антецедент А', близкий к А, дает следствие В', близкое к В. Это свойство особенно важно для систем с участием «человеческого фактора», где все ситуации не могут быть заданы с помощью набора правил.

Примеры реальных правил с использованием этих импликаций приведены в гл. 8.

В качестве других приложений следует упомянуть использование композиционного modus ponens в качестве семантического правила вывода на всех уровнях архитектуры баз данных: на экстенсиональном, интенсиональном и на уровне баз знаний [16]. Для случая экспертных консультационных систем особенно важно, чтобы модель базы знаний обладала возможностью оперировать при принятии решений с нечетко заданной обстановкой. Особенно важным для экспертных систем, основанных на теории возможности [59], является введение распределения возможности в интенсиональные базы данных, чтобы выводить нечеткие семантические категории как внешние представления базы данных, и в базы знаний, чтобы вычислять функции, связанные с метаправилами.

Для дедуктивных консультационных систем, использующих приближенные рассуждения и взаимодействующих с реляционными базами данных, введение распределения возможности является наиболее привлекательным в связи с необходимостью расширения семантической ограниченности реляционной модели данных и создания гибкой и универсальной структуры управления, включающей в себя эвристические стратегии поиска ответа на вопросы. Одной из многообещающих попыток в этом направлении является использование распределения возможностей для описания значений атрибутов в реляционных базах данных [52].