§ 9.3. Нечеткие модели коллективных решений

В зависимости от вида индивидуальных предпочтений и информационных аспектов, выделяются [127] три класса теорий принятия решения п лицами: 1) теория групповых решений;

2)   теория малых групп и 3) теория игр п лиц. В последней считается, что все игроки преследуют сугубо личные цели (выигрыш), что не запрещает им вступать в коалиции или обмениваться информацией. В теории же групповых решений предполагается, что хотя каждый субъект имеет свои личные цели и ценности, но главная цель состоит в том, чтобы достичь приемлемого коллективного решения (получить одно групповое упорядочение по предпочтениям) на основе индивидуальных предпочтений. Исходной предпосылкой теории малых групп является то, что каждый член малой группы защищает общие интересы, и цель группы есть в то же время цель индивида; при этом особое внимание уделяется структуре информации, исходя из которой принимаются решения. Размытый вариант этой теории учитывает нечеткость знания состояний мира, нечеткость информационных сигналов, решающих функций и т. д. [137].

В задачах коллективного принятия решения обычно используется выражение предпочтений в виде бинарного отношения Р на множестве альтернатив — более универсальное по сравнению с целевой функцией. Принято выделять [138] два основных аспекта группового принятия решения с нечеткими отношениями предпочтения: а) отыскание, исходя из множества индивидуальных нечетких предпочтений, допустимого группового решения (в стиле Эрроу) и б) построение по нечетким отношениям предпочтения упорядоченного множества альтернатив; при этом требуется определить множество недомипируемых альтернатив или других, устойчивых решений.

Впервые задача группового выбора в условиях нечеткости сформулирована в [84, 85]. Имеется группа из п ЛПР {.fit, . .., Вп}

и множество альтернатив А = {аи ..aJ, каждое ЛПР имеет четкое отношение предпочтения Рн- АХА-*{0, 1). Задача состоит в построении совместного группового упорядочения посредством отображения^ F: Р, X Рг X ... X Р„ Р„. Различно мнений отдельных ЛПР обусловливает нечеткость отношения «общественного» предночтения на декартовом произведении АХ А с функцией принадлежности Црц (ві, aj) е[0,1]. Функция принадлежности нечеткого отношения Рц может назначаться в форме:

и т. п., где Оц = {Pk\a<> а<), N(o,j) —число элементов в о«, т. е. число лиц, считающих, что а,- предпочтительнее Oj. Процедура получения окончательного четкого решения на основе ранее построенной матрицы «общественного» предпочтения [85] основана на введении отношения а-уровня нечеткого отношения интерпретируемого как «уровень согласия в группе»; необходимо максимизировать этот уровень согласия из условия полноты соответствующего отношения порядка.

Модели группового выбора на основе бинарных нечетких ит- ношепий предпочтения г; XXX [О, 1], т. е. квадратных матриц [гу] ^ Л, Л G Ѵ„, где F„ — множество всех действительных матриц размера пХп, обсуждаются различными авторами [40, 41, 52, 53, 83]. В [83] выделяются основные тины предпочтений и согласия на множестве матриц нечеткпх отношений, обладающих свойством обратимости Mn — {R F„ I О  1    '‘а "= о Ѵ''!

гц -Ь r,i = 1 уіФІ}. Анализ происходит с иснользованиом введенных на Мп скалярных мор.

В основе классической теории коллективных решений лежит теорема Эрроу, согласно которой нельзя построить функцию группового предпочтения без диктата. Грубо говоря, ото зна'піт, что не существует функции группового предночтения, полностью учитывающей индивидуальное мнение. Однако для коллектива ЛПР, сформированного в условиях нечеткого управления, обладающего устойчивостью, существует общественно удовлетворительное решение [99] (устойчивость управления подразумевает наличие хотя бы одной четкой ипструкции). При нечетких внешних инструкциях в группе возникает иерархия, характеризуемая наличием лидера — ЛПР, обладающего наибольшей способностью генерировать разнообразные альтернативы в ответ на эти инструкции. Эта иерархия — более гибкая, чем иерархия диктаторского типа: функция лидера может состоять в конкретизации нечетких инструкций и их доведении па более ппзкнй уровень, при этом возможно существование решения, которое удовлетворяет всех.

Аналогичные выводы установлены X. Скала (см. [138]) в работе, где исследуются свойства матрицы [г,-,],

где а% = І^ если к-п эксперт строго предпочитает альтернативу Хі альтернативе Xj\ a^j — О в противном случае. Если r,j аптирсф- лексивна === О, пссвдоасимметричпа Гц + Гц = 1 и псспдотран- зитивна r,j + rjH -- К п,., то условия теоремы нсвозмояпюсти соп- местны.

Групповое решение, полученное, исходя пз индивидуальных предпочтений, может обеснсчивать необходимую входную информацию для построения множества педоминируемых альтернатив [140, 53, 26]. Последнее можно построить па основе нечеткпх отношеппй строгого предпочтения R“ — R\R~^ и квазиэквивалентности R" — R Г\ R ^ с функциями принадлежности соответственно

и

Тогда функция принадлежности нечеткого множества недомшш- руемых альтернатив [140] выражается в виде

Эффективным считается выбор величины |і”°(ж) достаточно близкой к sup (,r) = 1 — inf sup |іід (у, a) ~ iij; (,r, y) I. Альтер-

XSX  x^XysY

нативу X следует брать пз множества четко недомпнііруе- мых альтернатив — S Р, = {ж е XI =-= 1), где Р —

множество Парето.

Аксиоматический подход к определению рационального группового решения па основе печетких индивидуальных предпочтений предложен в работе [110]. В ней, исходя из аксиом рационального агрегата нечетких множеств, доказывается, что групп и- вое решение является либо пессимистическим аЬ = min {а, 6), либо оптимистическим аЬ = шах {«, Ъ), либо смешанным агрегатом нечетлих множеств. Этот результат, наряду с выводами Веллмана и Гирца [81], позволяет сформулировать строгие принципы нормативного группового выбора. Кроме того, в [110] показано, что нечетіше множества удобно использовать для унификации различных аксиоматических иодходов к проблеме рационального

выбора: теории статистических решений, теории коллектйваых решений и теории многокритериального выбора. Функцию принадлежности можно трактовать как убываюш;ую функцию риска R, т. е. если Ѳ — множество состояний природы, а Х = {х) ~ множество альтернатив, то Цѳ(а:)= 1 —/?(Ѳ, х) для всех х^Х при условии, что R (0, х) е [О, 1]. Эта функция принадлежности нечеткого множества альтернатив одновременно отражает и степень приемлемости данного элемента для коллектива ЛПР, и состояние природы. Предлагается использовать в качестве области зна- чоппй функции припадлежпости топологическое пространство, ппдуцпрованное лпнейпым порядком, и в некотором смысле более простое, чем интервал [О, 1], Интересное развитие этих идей можно пайти в [165].

Для моделирования ситуации принятия решения в условиях противоборства, когда надо принимать во внимание интересы всех ЛПР, влияющих на ход событий, применяется аппарат теории игр. Обобщения теоретико-игровых моделей анализа конфликтных ситуаций на случаи нечеткой информации о целях и стратегиях пгроков содержатся в работах [50, 51, 53, 63, 76, 77, 93, 145].

Игра двух лиц с нечеткими стратегиями и предпочтениями- определяется [145] набором G = {S\ S~, R\ R^), где 5“' —множество стратегий і-го игрока, \S^\^2 (і = 1, 2). Па декартовом произведении стратегий игроков определены исходы игры и ^ Q, Q = 5‘ X S'\ Отношение предпочтения і-то игрока — слабый частичный порядок (по крайней мере, рефлексивно), i?‘sQXQ, т. е. Л'S (5‘X iS^)“. Нечеткость предпочтения описывается с помощью нечеткого отношения Цді :    1] или Цді ;

XiS’^)®->[0j l]j причем ц,ді(о), со')—степень, с которой игрок і но предпочитает исход о)' исходу со. В свою очередь г-я нечеткая стратегия определяется отображением о.-: S‘ [О, 1]. Нечеткие исходы, получеппые в результате принятия нечетких стратегий, представляют собой декартово произведение нечетких множеств iSiXiS? = {((«1, Sg), Oj (sj) Л Og (.Уа))}- Далее вводится понятие равновесного решения размытой игры в виде пересечения четких отношений уровня, заданных на S^ X S'^.