§ 9.4. Нечеткие модели многокритериальных задач

С проблемой принятия коллективных решений тесно связана (хотя и несколько отлична от нее) задача многоцелевого (многокритериального) принятия решения. Многокритериальную оптимизацию в нечеткой обстановке можпо представить в виде системы ІХ, С'і, ..С'п, ЬУ [47], где X — универсальное множество альтернатив, L — решетка, а критерием Сі (г = 1, ..п) называется L-нечеткое множество

Если все критерии рассматривать как равнозначные и сравнимые, то в соответствии с принципом слияния имеем набор <Х, Д ЬУ, где Z) = Cjn...nC„, т. е.     * • • • * 1іс„, *—

один из вариантов операции пересечения нечетких множеств в 9~l{X) [23, 173]. Однако в реальных условиях принятие решения происходит при наличии критериев неодинаковой значимостн. Тогда, если иліеется множество нечетких критериев М ~ . • •

.., , цс„},   l{X) и множество весов критериев П = {Рі, .,.

..Рп), то нечеткое подмножество Q НМ М: М

определяет взвешивание критериев [126]. Отметим, что Q<=:M^ (9~L (X)) — нечеткое множество типа 2 [32].

В [47, 48] процедура взвешивания критериев рассматривается как отображение ѵ:   L, где ^(Л^.) — мпожество всех под

множеств индексов критериев Л'„ = {1, ..и}, Z — решетка. Функция D: Х L, отображающая решения, определяется с помощью нечеткого интеграла [149]

В многокритериальном случае целевая функция есть векторная функция ф(а:) = (фі(а:), ..., фт(а:)), т. е. ф: X <= 5?’*-> 52"', и строгий порядок на невозможен. Любые две альтернативы X п у сравнимы между собой тогда и только тогда, когда либо фі(х) фі(і/), либо фі(л’) ^ фі(г/) Vi. Таким образом, понятие оптимальности заменяется в векторной оптимизации понятием недоминируемости. В то время как в однокритернальиой задаче решенпе есть точка оптимума, в многокритериальной задаче оно дает множество эффективных (оптимальных по Парето) альтернатив

Для дальнейшего сужения этого множества Р" необходима дополнительная информация от ЛПР: используемые при этом различные процедуры в осповном сводятся к явному или неявному свертыванию частных критериев в единый критерий. Примерами таких обобіценных критериев могут служить взвешенная

сумма нечетких критериевпроизведение вида

минимум отношения С = шін (Ci/u’i), где Сі —

нормализованные критерии (нечеткие цели по Веллману и Заде), а іѴі — их веса (і = 1, ..., п).

Нечеткая постановка задачи многокритериального выбора предполагает [26—28, 78, 79, 127], что известны множество сравниваемых альтернатив А = {Аг, ..., Аш) и множество критериев (аспектов) срайнения С — {Сі, ..., С„}, причем нечеткая оценка альтернативы Aj по критерию Cj характеризуется функцией принадлежности iiRjj(rji), Tji^R, а относительная важность ш,- критерия Сі — функцией принадлежности Имеется нечеткое множество оптимальных альтернатив.

При построении решения может использоваться [78, 120] нечеткая средневзвешенная оценкаальтернативы Aj с функцией принадлежности

В [120] уровни принадлежности в оптимальном множестве определяются в виде пересечения нечетких оценок Rj с так называемым максимизирующим множеством М*, функция принадлежности которого [ім* (г) = [г/гтахі^ (р — целое число) отражает степень приближения текущего значения оценки к максимально

__   Г т  \

возможному rmax = sup( [J supp|ifi.(rj) .В качестве нечетко оп-

г \j=l    I

тимальной альтернативы Л* берется супремум этого пересечения по всем средневзвешенным оценкам. Другой вариант сравнения альтернатив формулируется [78] с помощью условного нечеткого множества 0\R, характеризуемого функцией

Тогда нечеткое множество оптимальных альтернатив определяется функцией принадлежности

Приимеем

Таким образом, в итоге выбирается альтернатива с такой средневзвешенной оценкой Pj, что ?j ^ T'k для любого к: к^{і, ..., п}. Эту процедуру можно также описать с помощью м-арного

отношения Pj-. Д X... X Д {О, 1), где

Для повышения чувствительности данного метода определяется мера предпочтительности альтернативы по отношению к дру~ гим, в качестве которой выступает расстояние между конкретным значением оценки этой альтернативы и средним значением оценок по всем другим альтернативам. Однако более интересно проанализировать степень предпочтений! некоторой альтернативы по отношению к ее ближайшей сопернице. Поэтому в [79] вместо м-арного четкого отношения Pj используется бинарное нечеткое отношение [Хр.^: R X Д->[0, 1], выражающее предпочтительность оценки Гі перед г,-; і, j =    щ іФ j, т. е. [Хр^. = /(г^, rj), к при

меру цру (г{, г,) = — Г]. При этом выбор в оптимальном множестве описывается функцией принадлежности

В работах [26, 27, 52, 53] показывается, что описание многокритериальных задач удобно проводить с помощью построения отношений предпочтения между альтернативами с последующим выделением нечеткого множества недоминируемых альтернатив. Например, в так называемой обобщенной модели НМП [141] в отличие от вышеописанных подходов, основанных на сравнении нечетких множеств в одном пространстве оценок по критериям, анализируются за!дачи, в которых возможна нечеткость всех компонентов системы принятия решения. Рассматриваются: а) множество допустимых альтернатив X (оно может быть нечетким Ца: X [О, 1]), б) универсальное множество оценок R альтернатив из X. На множестве оценок задано нечеткое отношение предпочтения іір: Д X Д -> [О, 1]. Выбор оценивается на базе этого отношения, а также нечеткого отображения цели [Хф: XX R^ [О, 1], согласно которому любой альтернативе Xfi^X ставится в соответствие нечеткая оценка Цф(а;о, у), являющаяся нечетким подмножеством множества оценок Д. Требуется установить правило рационального выбора альтернатив из множества X.

Решение этой задачи определяется путем построения на множестве альтернатив X нечеткого отношения предпочтения, которое индуцируется исходным нечетким отношением Д, расширенным на класс всех нечетких подмножеств 9~{RXR) декартова произведения Д X Д с последующим выделением из него нечеткого множества педоминируемых альтернатив.

Понятие структур доминирования и недоминируемых решений в многокритериальных задачах позволяет рассматривать общие случаи, в которых имеется информация о предпочтениях

ЛПР. в [151] вводятся понятия нечетких выпуклых конусов и нечетких полярных конусов, обобщающих структуры, впервые построенные Ю (You). Эти структуры охватывают понятие оптимальности в смысле Парето и некоторые другие конструкции.

Частным случаем многокритериального подхода является задача линейной векторной оптимизации [117, 172]; для ее решения предложена конкретизация схемы Веллмана и Заде [71]. Примеры выделения одного конкретного решения из мнон5ества эффективных решений векторной максимизации методами нечеткого линейного программирования содержатся в [47, 53, 172]: предварительно найденные наилучшее и наихудшее решения служат границами нечетких диапазонов в соответствующей задаче нечеткого линейного программирования.

Выбор конкретного решения из множества Парето можно также осуществлять с помощью метода целевого программирования, идея которого состоит в отыскании решений, расположенных как можно ближе к вектору одновременно недостижимых целей (идеальной точке) [23, 47]. Иначе задачу многокритериального выбора можно рассматривать как задачу группирования (кластеризации) альтернатив на основе введения на множестве X некоторого отношения различия (например, ультраметрики), описывающего расстояния между нечеткими подмножествами множества альтернатив [126]; в частности, могут применяться различные показатели размытости, в том числе нечеткая энтропия Де Люка и Термини [94, 54] (см. гл. 3).

На ранних стадиях проектирования реальных систем (этапы анализа технического задания и разработки технического предложения) имеется набор признаков, по которым происходит экспертная оценка вариантов и выбирается в некотором смысле наилучший вариант конструкции. Поэтому в ходе анализа техническое задание целесообразно представлять в виде составной лингвистической переменной, смысл которой выражается с помощью набора эталонных функций принадлежности. Исходные данные удобно сгруппировать в матрицу возможных проектных решений (табл. 9.1): ее строки содержат описание альтернатив а^, Л = 1,...

q, а столбцы соответствуют признакам С,, 1 = 1, ..., г. Клетки матрицы заполняются функциями принадлежности (НМ), построенными на основе вербально-графических оценок экспертов [59]. В интересах сопоставления оценок по признакам различной природы следует нормализовать шкалы признаков, например по формуле ж, = (x,-x,min)/(a;imax-^imin), где X, — текущая оценка по l-Mj признаку, а [x,mm, а;, max] — диапазон допустимых значений по І-му признаку. Правило выбора наилучшего варианта может записываться в виде

где Wi{Ci)—весовые коэффициенты признаков, а р((ял, Яэт) — обобщенный показатель различия между текущей и эталонной оценками по 1-иу признаку, имеющий вид р =    +

+ bpjc(p^(jf) — метрика в 9~{Х), рх — метрика в X, а я и 6 — соответствующие коэффициенты важности).